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| Aufgabe | Stellen Sie fest, ob die lineare Funktion f: [mm] \IR^3 \mapsto \IR^3, f(x_{1}, x_{2}, x_{3})=x_{1}a_{1} [/mm] + [mm] x_{2}a_{2} [/mm] + [mm] x_{3}a_{3}, [/mm] injektiv oder surjektiv ist.
[mm] a_{1}= \pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 } a_{2}= \pmat{ 3 \\ 2 \\ 1 } a_{3}= \pmat{ 0 \\ 4 \\ 8 }
[/mm]
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Hallo,
einen Lösungsansatz zu der Aufgabe habe ich leider nicht. Hab mir schon jede Menge dazu durchgelesen, aber aus den ganzen allgemeinen Beispielen mit Buchstabensalat werde ich nicht schlau.
Wann ist ein Vektor denn surjektiv oder injektiv, und wie kann ich das errechnen??
gruß
markus
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> Stellen Sie fest, ob die lineare Funktion
f: [mm] $\IR^3 \mapsto \IR^3$ [/mm] mit [mm] $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})=x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+x_{3}a_{3}$
[/mm]
> injektiv oder surjektiv ist.
> [mm]a_{1}= \pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 }\quad a_{2}= \pmat{ 3 \\ 2 \\ 1 }\quad a_{3}= \pmat{ 0 \\ 4 \\ 8 }[/mm]
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> Hallo,
> einen Lösungsansatz zu der Aufgabe habe ich leider nicht.
> Hab mir schon jede Menge dazu durchgelesen, aber aus den
> ganzen allgemeinen Beispielen mit Buchstabensalat werde ich
> nicht schlau.
> Wann ist ein Vektor denn surjektiv oder injektiv, und wie
> kann ich das errechnen??
> gruß
> markus
Guten Tag Markus,
ein Vektor ist weder surjektiv noch injektiv, und eine
Abbildung (z.B. eine lineare Funktion [mm] f:\IR^3 \mapsto \IR^3) [/mm] ist kei-
neswegs entweder surjektiv oder injektiv. Sie kann das
eine oder das andere, keines von beidem oder beides
zusammen sein.
Prüfe zuerst, ob die drei Vektoren [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] linear
unabhängig sind oder was für ein Gebilde sie im [mm] \IR^3 [/mm]
aufspannen. Nimm dir dann die genauen Definitionen
für eine injektive bzw. für eine surjektive Abbildung
vor und überprüfe sie, z.B. auch an Beispielen.
Ist f surjektiv, so müsste es für jeden Vektor [mm] y\in\IR^3
[/mm]
einen Vektor x geben mit f(x)=y. Teste dies z.B. mit
dem Beispiel [mm] y=\pmat{1\\2\\4} [/mm] .
LG
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