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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Fr 02.01.2004 | | Autor: | Olliput |
Frohes Neues erstmal!
Bin neu hier und hab nen Problem mit einer Übüngsaufgabe aus dem Bereich der linearen Algebra:
Es sei v1 = [1, 0, 3,-2, 1], v2 = [2, 1, 1, 0,-2], v3 = [1, 0, 1, 0, 1],
x0 = [1, 0, 2, 0, 4], L1 = x0 + Span(v1, v2), L2 = x0 + Span(v1, v2, v3).
Geben Sie für i = 1, 2 ein lineares Gleichungssystem Aix = bi aus drei Gleichungen
an, derart dass Li = L(Ai, bi) für i = 1,
Wie geht denn das? Hab da leider absolut keinen Plan. Ich hoffe ihr könnte mir helfen, vielen Dank schon einmal im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:45 Sa 03.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Olliput,
willkommen im MatheRaum  !
Die Schwierigkeit bei dieser Aufgabe liegt wieder mal nur im Formalismus der Darstellung, nicht in der Sache selbst (hoffe ich).
Der Span von mehreren Vektoren ist einfach die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren, auch lineare Hülle genannt. Diese Menge ist natürlicher Weise ein Vektorraum.
Die Mengen [mm]L_1[/mm] und [mm] L_2 [/mm] sind keine Vektorräume, sondern affine (Teil-) Räume.
Eine andere Schreibweise wäre für [mm]L_1[/mm]:
[mm] L_1 = \{ y \in\IR^5 | y=x_0 + r*v_1 + s*v_2 \; \mbox{mit} \; s,r \in\IR \} [/mm]
Ich weiß jetzt nicht, welche Sätze etc. vorausgesetzt werden können, deswegen zeige ich dir, wie man es zu Fuß macht:
Zunächste schreibe ich [mm] L_1 [/mm] als Lineares Gleichungssystem:
[mm] \gdw [/mm][mm] \begin{array}{ccccc}
y_1 & = & 1 & +r & +2s \\
y_2 & = & 0 & & +s \\
y_3 & = & 2 & +3r & +s \\
y_4 & = & 0 & -2r & \\
y_5 & = & 4 & +r & -2s
\end{array} [/mm]
Hieran sieht man, dass [mm] s = y_2 [/mm] ist und [mm] r = -\frac{y_4}{2} [/mm].
Das nutze ich direkt aus und ersetze:
[mm] \gdw [/mm][mm] \begin{array}{ccccc}
y_1 & = & 1 & -\frac{y_4}{2} & +2y_2 \\
y_2 & = & 0 & & +y_2 \\
y_3 & = & 2 & -3*\frac{y_4}{2} & +y_2 \\
y_4 & = & 0 & +2*\frac{y_4}{2} & \\
y_5 & = & 4 & -\frac{y_4}{2} & -2y_2
\end{array} [/mm]
Die zweite und vierte Gleichung ist offenbar allgemeingültig, ich streiche sie direkt:
[mm] \gdw [/mm][mm] \begin{array}{ccccc}
y_1 & = & 1 & -\frac{y_4}{2} & +2y_2 \\
y_3 & = & 2 & -3*\frac{y_4}{2} & +y_2 \\
y_5 & = & 4 & -\frac{y_4}{2} & -2y_2
\end{array} [/mm]
So, nun stimmt schon mal die geforderte Anzahl Gleichungen; durch ein paar simple Umstellungen haben wir auch sehr schnell die gewünschte Matrix [mm] A_1 [/mm]:
[mm] \gdw [/mm][mm] \begin{array}{ccccc}
y_1 & +\frac{1}{2}*y_4 & -2y_2 & = & 1 \\
y_3 & +\frac{3}{2}*y_4 & -y_2 & = & 2 \\
y_5 & +\frac{1}{2}*y_4 & +2y_2 & = & 4
\end{array} [/mm]
Noch ein bißchen umsortieren und ein paar 0-Koeffizienten ergänzen:
[mm] \gdw [/mm][mm] \begin{array}{ccccccc}
y_1 & -2y_2 & +0y_3 & +\frac{1}{2}*y_4 & +0y_5 & = & 1 \\
y_3 & -y_2 & +0y_3 & +\frac{3}{2}*y_4 & +0y_5 & = & 2 \\
y_5 & +2y_2 & +0y_3 & +\frac{1}{2}*y_4 & +0y_5 & = & 4
\end{array} [/mm]
Direkt die Koeffizienten für die Koeffizientenmatrix [mm] A_1 [/mm] ablesen:
[mm] \gdw [/mm][mm] \begin{pmatrix}
1 & -2 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
1 & -1 & 0 & \frac{3}{2} & 0 \\
1 & +2 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
\end{pmatrix}*
\begin{pmatrix}
y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 4
\end{pmatrix} [/mm]
Dieses Gleichungssystem hat nun die geforderte Gestalt.
Alles klar?
Probier' du doch jetzt mal die zweite Teilaufgabe, und wir korrigieren sie dann oder helfen dir bei weiteren Problemen weiter.
Viel Erfolg,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 So 04.01.2004 | | Autor: | Olliput |
Ich danke dir, Marc! Das Problem war in der Tat, dass ich schlichtweg nicht wusste was es hier zu tun galt, aber dank deiner Hilfe glaube ich, das es mir möglich ist, den 2.Teil hinzubekommen (gewagte These,ich weiss ;)). Vielen Dank nochmal!
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