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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Fr 15.11.2013 | | Autor: | LisaK |
| Aufgabe | [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] sind reelle Zahlen
x + 2y + 3z = 0
4x + [mm] \beta [/mm] y + 6z = 0
3x + 2y + z = [mm] \alpha
[/mm]
Bestimmen Sie alle [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] , für die das System keine Lösung hat. |
Hallo!
Ich weiß wie man mit linearen Gleichungssystemen umgeht. Meine Frage ist, ob ich [mm] \beta [/mm] = 1 setzen darf, da in der Standardbasis an dieser Stelle die 1 steht. Oder muss ich [mm] \beta [/mm] anders berechnen und wenn ja wie?
Vielen Dank für eure Hilfe
Lisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Fr 15.11.2013 | | Autor: | abakus |
> [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] sind reelle Zahlen
>
> x + 2y + 3z = 0
> 4x + [mm]\beta[/mm] y + 6z = 0
> 3x + 2y + z = [mm]\alpha[/mm]
>
> Bestimmen Sie alle [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] , für die das System
> keine Lösung hat.
Hallo,
die ersten beiden Gleichungen beschreiben Ebenen, die beide durch den Ursprung verlaufen. Somit schneiden sie sich in einer Ursprungsgeraden oder sind sogar identisch.
Identisch sind sie aber nicht, weil die zweite Gleichung kein Vielfaches der ersten sein kann.
Wenn das Gleichungssystem keine Lösung haben darf, muss die dritte Ebene parallel zur Schnittgeraden der ersten beiden Ebenen verlaufen.
Aber zurück zum Gleichungssystem. Löse es doch ganz normal mit dem Gauß-Verfahren.
Dabei darfst du für diese beiden Parameter aber keine konkreten Werte einsetzen.
Gruß Abakus
> Hallo!
>
> Ich weiß wie man mit linearen Gleichungssystemen umgeht.
> Meine Frage ist, ob ich [mm]\beta[/mm] = 1 setzen darf, da in der
> Standardbasis an dieser Stelle die 1 steht. Oder muss ich
> [mm]\beta[/mm] anders berechnen und wenn ja wie?
>
> Vielen Dank für eure Hilfe
>
> Lisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Fr 15.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] sind reelle Zahlen
>
> x + 2y + 3z = 0
> 4x + [mm]\beta[/mm] y + 6z = 0
> 3x + 2y + z = [mm]\alpha[/mm]
>
> Bestimmen Sie alle [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] , für die das System
> keine Lösung hat.
Du hast:
[mm]\vmat{x+2y+3z=0\\4x+\beta y+6z=0\\3x+2y+z=\alpha} [/mm]
[mm]\stackrel{4\cdot I-II;3\cdotI-III}{\Leftrightarrow}\vmat{x+2y+3z=0\\0+(8-\beta)y+6z=0\\4y+8z=-\alpha}[/mm]
[mm]\stackrel{4\cdot II;3\cdot III}{\Leftrightarrow}\vmat{x+2y+3z=0\\(32-4\beta)y+24z=0\\12y+24z=-3\alpha}[/mm]
[mm]\stackrel{II-III}{\Leftrightarrow}\vmat{x+2y+3z=0\\(32-4\beta)y+24z=0\\(20-4\beta)y=3\alpha}[/mm]
Nun müsstest du mal in Gleichung III durch [mm] 20-4\beta [/mm] teilen, mache also die Fallunterscheidung [mm] 20-4\beta=0 [/mm] und [mm] 20-4\beta\ne0
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Fr 15.11.2013 | | Autor: | LisaK |
Danke Marius!
Ich habe jetzt [mm] \beta [/mm] = 5
Habe dies dann in das Gleichungssystem eingesetzt und umgeformt nach der Standardbasis, sodass ich auf 0,5 [mm] \alpha [/mm] komme. Sorry, aber wie komme ich jetzt auf den genauen Wert von [mm] \alpha?
[/mm]
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Hallo,
du solltest dich nochmal an die eigentliche Aufgabenstellung erinnern. Es geht darum, [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] so zu wählen, dass das LGS keine Lösung besitzt.
Jetzt überlege dir (mit dem richtigen Teilergebnis [mm] \beta=5 [/mm] im Gepäck), wie groß [mm] \alpha [/mm] nicht sein darf, damit die Gleichung
[mm] (20-4\beta)*y=3\alpha
[/mm]
keine Lösung für y besitzt.
Es könnte nämlich auch sehr viele geben...
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Fr 15.11.2013 | | Autor: | LisaK |
Bin ich dann richtig, wenn ich sage, dass nur ein y existiert, wenn [mm] \alpha [/mm] = 0 ist. Also hat das System für alle [mm] \alpha \ne [/mm] 0 keine Lösung?
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Hallo,
obiges ist zwar nicht falsch, aber sehr unglücklich formuliert: wenn [mm] \alpha=0 [/mm] ist, gilt die Gleichung für jedes y und es gibt unendlich viele Lösungen (was uns jedoch im Rahmen dieser Aufgabe nicht interessiert).
Für [mm] \alpha\ne [/mm] 0 jedoch gibt es keine Lösung, da hast du völlig richtig überlegt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Sa 16.11.2013 | | Autor: | LisaK |
Ich hatte einen Denkfehler drin:
Also das Gleichungssystem hat keine Lösung für [mm] \alpha [/mm] = 0 und [mm] \beta [/mm] = 5.
Passt das jetzt? falls nicht, kann mir jemand mal helfen. Ich hab grad ein Brett vor dem Kopf
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Hallo,
> Ich hatte einen Denkfehler drin:
>
> Also das Gleichungssystem hat keine Lösung für [mm]\alpha[/mm] = 0
> und [mm]\beta[/mm] = 5.
>
> Passt das jetzt? falls nicht, kann mir jemand mal helfen.
> Ich hab grad ein Brett vor dem Kopf
Das könntest du eben beseitigen, wenn du den Thread nochmal gründlich durchgehst. Die Gleichung
0*x=0
ist für jedes x richtig, die Gleichung
0*y=c mit [mm] c\ne [/mm] 0
stimmt für kein y.
Jetzt mach mal noch einen Versuch.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Sa 16.11.2013 | | Autor: | LisaK |
Das Gleichungssystem hat keine Lösung für [mm] \alpha \ne [/mm] 0 [mm] und\beta \ne [/mm] 5
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Hallo Lisa,
achte genau auf präzise Formulierungen, v.a. in logischer Hinsicht.
> Das Gleichungssystem hat keine Lösung für [mm]\alpha \ne[/mm] 0
> [mm]und\beta \ne[/mm] 5
Das hieße, dass beide Fälle zugleich eintreten müssen.
Stimmt das denn?
Formuliere besser unmissverständlich.
Das Gleichungssystem hat keine Lösung
1) für/wenn ...
2) für/wenn ...
Ansonsten steht ja schon alles in diesem Thread. Folge also dem Tipp von Diophant und lies ihn nochmal gründlich.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Sa 16.11.2013 | | Autor: | LisaK |
nochmal eine Frage, dass ich jetzt keinen Denkfehler habe.
Mein Ergebnis lautet also:
Das Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn [mm] \alpha [/mm] = 0 ist und für alle [mm] \beta \ne [/mm] 0
Stimmt das so?
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Hallo,
> nochmal eine Frage, dass ich jetzt keinen Denkfehler habe.
> Mein Ergebnis lautet also:
> Das Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn [mm]\alpha[/mm] = 0
> ist und für alle [mm]\beta \ne[/mm] 0
>
> Stimmt das so?
nein, das stimmt nicht. Geh einfach den Thread nochmal durch, bedenke, was da lles so geschrieben wurde und dann sollte dir klar werden, weshalb es nicht stimmt.
Gruß, Diophant
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