lineare Gleichungssyteme < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Joly |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich würde gerne wissen wie lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen und einer Formvariable funktionieren wobei Fallunterscheidungen vorzunehmen sind.
zb.:
a²x - 2y = 2a
ax + 4y = 1-2a
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 So 07.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
nehmen wir dein konkretes Beispiel:
I. [mm] a^{2}x-2y=2a [/mm]
II. $ax+4y=1-2a$
Addieren wir hier das 2-fache der I. Gleichung zur II. Gleichung, so erhalten wir
[mm] ax+2a^{2}x=1+2a [/mm] und stellen nach x um:
Auf der linken Seite der Gleichung können wir x ausklammern
[mm] ax+2a^{2}x=x*(a+2a), [/mm] d.h.
[mm] $x*(a+2a^2)=1+2a$
[/mm]
Nun ist Vorsicht geboten. Um x nun alleine auf eine Seite zu bringen, wollen wir - sofern möglich - beide Seiten der Gleichung durch [mm] $(a+2a^2)$ [/mm] teilen - das geht aber nur, wenn [mm] $(a+2a^2)\not={0}$. $(a+2a^2)=a*(1+2a)=0$, [/mm] wenn $a=0$ oder [mm] $a=-\bruch{1}{2}$. [/mm] Denn durch $0$ teilen, ist tabu. Wir dürfen also nur durch [mm] $(a+2a^2)$ [/mm] teilen, wenn [mm] $a\not={0}$ [/mm] und [mm] a\not=-\bruch{1}{2}.
[/mm]
Wir sehen, was passiert, wenn wir z. B. a=0 in unsere beiden Gleichungen einsetzen würden:
I. [mm] a^{2}x-2y=2a [/mm] mit $a=0$: $-2y=0$
II. $ax+4y=1-2a$ mit a=0: $4y=1$
aus der 1. Gleichung folgt $y=0$, während uns die 2. Gleichung [mm] y=\bruch{1}{4} [/mm] liefert. Wir erhalten also bei $a=0$ einen Widerspruch und schließen $a=0$ demnach zu recht aus.
Wir wollen aber [mm] $x*(a+2a^2)=1+2a$ [/mm] nach x umstellen. Wegen unserer Überlegung oben, sagen wir, [mm] a\not={0} [/mm] und [mm] a\not=-\bruch{1}{2}. [/mm] Dann dürfen wir durch [mm] (a+2a^2)\not=0 [/mm] teilen und erhalten
[mm] x=\bruch{1+2a}{a+2a^2}
[/mm]
Nun haben wir x in Abhängigkeit von a berechnet.
y erhälst du, wenn du z.B. [mm] x=\bruch{1+2a}{a+2a^2} [/mm] in die II. Gleichung einsetzt (du kannst es aber ebenso in die I. Gleichung einsetzen).
Gruß barsch
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Hallo zu später Stunde !
der Fall [mm] a=-\bruch{1}{2} [/mm] müsste auch noch detailliert
untersucht werden. Im Gegensatz zum Fall a=0
führt nämlich [mm] a=-\bruch{1}{2} [/mm] nicht auf einen Widerspruch,
sondern auf eine Gleichung, die unendlich viele
Lösungspaare erlaubt !
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 So 07.06.2009 | | Autor: | Joly |
Danke für die Antworten! Nur wie komme ich von selbst darauf, dass -1/2 [mm] \not= [/mm] a sein muss, da es sonst unendlich viele Lösungen gibt? Wenn ich es durchrechne verstehe ich es, aber ich weiß nicht wie ich da von selbst draufkommen würde.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 So 07.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Joly!
Betrachte:
$$ x \ = \ [mm] \bruch{1+2a}{a+2a^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*\left(a+\bruch{1}{2}\right)}{2a*\left(a+\bruch{1}{2}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a}$$
[/mm]
Dieser letzte Schritt des Kürzens von [mm] $\left(a+\bruch{1}{2}\right)$ [/mm] ist aber nur zulässig für $a \ [mm] \not= [/mm] \ [mm] -\bruch{1}{2}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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> Hallo Joly!
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> Betrachte:
> [mm]x \ = \ \bruch{1+2a}{a+2a^2} \ = \ \bruch{2*\left(a+\bruch{1}{2}\right)}{2a*\left(a+\bruch{1}{2}\right)} \ = \ \bruch{1}{a}[/mm]
>
> Dieser letzte Schritt des Kürzens von
> [mm]\left(a+\bruch{1}{2}\right)[/mm] ist aber nur zulässig für [mm]a \ \not= \ -\bruch{1}{2}[/mm] .
>
> Gruß
> Loddar
Hallo zusammen !
im Fall, dass [mm] a=-\bruch{1}{2} [/mm] , ist einfach dieser Lösungsweg
mit Kürzen nicht möglich. Dies bedeutet hier aber
keineswegs, dass [mm] a=-\bruch{1}{2} [/mm] ein "verbotener Wert"
in diesem Gleichungssystem ist !
Wenn man alle möglichen Fälle bezüglich der Werte
von a betrachtet, hat man dann für die Lösungsmenge
des Systems:
$\ [mm] \IL=\begin{cases} \{\}, & \mbox{für } a=0 \\ \{(x,y)\ |\ x\in\IR\,,\,y=\bruch{x+4}{8}\}, & \mbox{für } a=-\bruch{1}{2}\\ \{(\bruch{1}{a}\,,\,-\bruch{a}{2})\}\,, & \mbox{sonst }\end{cases}$
[/mm]
LG Al-Chwarizmi
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Hallo barsch !
> Wir wollen aber [mm]x*(a+2a^2)=1+2a[/mm] nach x umstellen. Wegen
> unserer Überlegung oben, sagen wir, [mm]a\not={0}[/mm] und
> [mm]a\not=-\bruch{1}{2}.[/mm] Dann dürfen wir durch [mm](a+2a^2)\not=0[/mm]
> teilen und erhalten
>
> [mm]x=\bruch{1+2a}{a+2a^2}[/mm]
dies kann man natürlich noch kürzen !!
> Nun haben wir x in Abhängigkeit von a berechnet.
>
> y erhälst du, wenn du z.B. [mm]x=\bruch{1+2a}{a+2a^2}[/mm] in die
> II. Gleichung einsetzt (du kannst es aber ebenso in die I.
> Gleichung einsetzen).
auch für y ergibt sich dann ein ganz einfacher Term ...
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 So 07.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hi Al-Chwarizmi,
du hast recht, man kann durchaus kürzen - da habe ich nicht drauf geachtet; war auch schon etwas spät 
Ich wollte Joly nicht die Aufgabe lösen, sondern anregen, wie vorzugehen ist.
In anbetracht des mathematischen Backgrounds von Joly und der Tatsache, dass es sich anscheinend um eine Aufgabe für die 9. Klasse handelt, scheint mir die Fallunterscheidung
> $ \ [mm] \IL=\begin{cases} \{\}, & \mbox{für } a=0 \\ \{(x,y)\ |\ x\in\IR\,,\,y=\bruch{x+4}{8}\}, & \mbox{für } a=-\bruch{1}{2}\\ \{(\bruch{1}{a}\,,\,-\bruch{a}{2})\}\,, & \mbox{sonst }\end{cases} [/mm] $
etwas kompliziert, oder?! Ich glaube, ich konnte in der 9. Klasse noch nichts mit einer solch ausführlichen Fallunterscheidung anfangen. Ich fand die Diskussion zu dieser Aufgabe interessant - zumal ich mir den Fall [mm] a=-\bruch{1}{2} [/mm] nicht genauer angesehen habe.
Ich hoffe aber, dass in erster Linie Joly weitergeholfen wurde.
Gruß barsch
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