lineare Hülle, Span etc < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 Mo 06.06.2011 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Sei B= { [mm] \wurzel{2}/2, [/mm] sin x ,cos x, sin(2x),cos(2x, sin(3x), cos(3x).....} und V= Span (B) [mm] \subset C([0,2\pi], [/mm] R) die lineare Hülle von B im reellen Vekotrraum [mm] C([0,2\pi],R) [/mm] der stetigen Funktionen f: [mm] [0,2\pi] \to [/mm] R. in anderen Worten
V={ [mm] a_{0}/2 [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] cos(kx) + [mm] b_{k} [/mm] sin (kx) : [mm] a_{0}, a_{k}, b_{k} \in [/mm] R, [mm] a_{k} \not= [/mm] 0, [mm] b_{k}\not=0 [/mm] nur für endlich viele k}
I) Zeigen Sie dass durch
(f,g) = [mm] 1/\pi\integral_{0}^{2\pi}{f(x)g(x) dx}
[/mm]
ein Skalarprodukt auf [mm] C([0,2\pi],R) [/mm] definiert wird. Machen sie sich dabei zunächst klar, warum die als Integranden auftretenden FUnktionen integrierbar sind |
Ich habe keine Idee was ich machen könnte um das zu beweisen....Ich hoffe ihr könnt mir helfen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Mo 06.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Sei B= { [mm]\wurzel{2}/2,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sin x ,cos x, sin(2x),cos(2x,
> sin(3x), cos(3x).....} und V= Span (B) [mm]\subset C([0,2\pi],[/mm]
> R) die lineare Hülle von B im reellen Vekotrraum
> [mm]C([0,2\pi],R)[/mm] der stetigen Funktionen f: [mm][0,2\pi] \to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R. in
> anderen Worten
> V={ [mm]a_{0}/2[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{k}[/mm] cos(kx) + [mm]b_{k}[/mm]
> sin (kx) : [mm]a_{0}, a_{k}, b_{k} \in[/mm] R, [mm]a_{k} \not=[/mm] 0,
> [mm]b_{k}\not=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
nur für endlich viele k}
>
> I) Zeigen Sie dass durch
> (f,g) = [mm]1/\pi\integral_{0}^{2\pi}{f(x)g(x) dx}[/mm]
> ein
> Skalarprodukt auf [mm]C([0,2\pi],R)[/mm] definiert wird. Machen sie
> sich dabei zunächst klar, warum die als Integranden
> auftretenden FUnktionen integrierbar sind
> Ich habe keine Idee was ich machen könnte um das zu
> beweisen...
Das kann doch nicht sein ! Du mußt für f,g,h [mm] \in [/mm] V und [mm] \lambda \in \IR [/mm] zeigen:
$ [mm] \langle f+g,h\rangle=\langle f,h\rangle+\langle g,h\rangle$
[/mm]
$ [mm] \langle f,g+h\rangle=\langle f,g\rangle+\langle f,h\rangle$
[/mm]
$ [mm] \langle f,\lambda g\rangle=\lambda\langle f,g\rangle=\langle\lambda f,g\rangle$
[/mm]
$ [mm] \langle f,g\rangle=\langle g,f\rangle$
[/mm]
[mm] $\langle f,f\rangle\geq0$, [/mm] und [mm] $\langle f,f\rangle=0$ [/mm] genau dann, wenn f = 0
FRED
> .Ich hoffe ihr könnt mir helfen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Mo 06.06.2011 | | Autor: | sissenge |
Ja tut mir ja leid aber ich verstehe beweise einfach nicht und das inzwischen seit sechs semestern!!
Woher weiß ich denn, dass ich das beweisen muss???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Mo 06.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Ja tut mir ja leid aber ich verstehe beweise einfach nicht
> und das inzwischen seit sechs semestern!!
>
> Woher weiß ich denn, dass ich das beweisen muss???
Da steht doch:
Zeigen Sie, dass durch .... ein Skalarprodukt auf ... definiert wird.
Also klopfe die Definition des Sklaraproduktes ab, und prüfe, ob sie erfüllt werden.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Mo 06.06.2011 | | Autor: | sissenge |
KÖnntest du mir zum Beipsiel die erste Bedingung vormachen, damit ich das "Schema" erkennen kann.
Wäre echt super
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Mo 06.06.2011 | | Autor: | fred97 |
$(f+g,h) = [mm] 1/\pi\integral_{0}^{2\pi}({f(x)+g(x))h(x) dx}= 1/\pi\integral_{0}^{2\pi}{f(x)h(x) dx}+1/\pi\integral_{0}^{2\pi}{g(x)h(x) dx}= [/mm] (f,h)+(g,h)$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Mo 06.06.2011 | | Autor: | sissenge |
Ahhh ok.. vielen Dank.....
so die anderen habe ich jetzt auch hin gekriegt nur bei dem letzten bräuchte ich noch hilfe.
(f,f) [mm] \ge [/mm] 0 und (f,f)=0 genau dann wenn f=0,
Reicht es bei (f,f) [mm] \ge [/mm] o zu sagen, dass im Summenzeichen ja dann ein quadrat steht und das kann ja bekanntlich nicht kleiner 0 sein und damit kann das Quadrat auch nur null sein, wenn f=0 ist...???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mo 06.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] stetig.
Wegen [mm] f(x)^2 \ge [/mm] 0 für x [mm] \in [/mm] [a,b], ist auch [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)^2 dx} \ge [/mm] 0. Das folgt aus der Monotonie des Integrals.
Ist [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)^2 dx} [/mm] = 0, so ist f [mm] \equiv [/mm] 0 auf [a,b]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mo 06.06.2011 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | | b) Zeigen Sie : B ist eine Orthonormalbasis von V=Span(B) |
Ok... ist das nicht das gleiche wie ich geschrieben habe?? Danke!
Jetzt zu b) Ich dachte wenn B die Eigenschaften eines Skalarprodukts erfüllt, dann ist es eine Orhtonormalbasis??
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> b) Zeigen Sie : B ist eine Orthonormalbasis von V=Span(B)
> Ok... ist das nicht das gleiche wie ich geschrieben habe??
> Danke!
Hallo,
der Grundgedanke war gleich.
>
> Jetzt zu b) Ich dachte wenn B die Eigenschaften eines
> Skalarprodukts erfüllt,
B kann nicht die Eigenschaft eines Skalarproduktes haben:
ein Skalarprodukt ist eine Abbildung und B eine Menge von Vektoren.
Du mußt Dich mit den Definitionen und ihren Objekten eingehend beschäftigen, wenn Du erfolgreich beweisen möchtest. Ohne genaue Kenntnis der Definitionen können Beweise nicht gelingen.
Es reicht einfach nicht, wenn man weiß, daß ONB ziemlich viel mit Skalarprodukt zu tun hat.
> dann ist es eine
> Orhtonormalbasis??
B ist eine ONB, wenn es eine Basis ist, die Vektoren die "Länge" 1 haben und paarweise orthogonal sind.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Di 07.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Zur Klärung des Begriffs "Orthogonalbasis":
Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum mit dem Skalarprodukt (*|*).
Dann ist mit
[mm] $||x||:=(x|x)^{1/2}
[/mm]
V ein normierter Raum.
Eine Teilmenge S von V heißt eine Orthonormalbasis (ONB) von V, wenn S ein Othonormalsystem ist und wenn für jedes x [mm] \in [/mm] V die Fourierentwicklung (im Sinne obiger Norm)
(*) $x= [mm] \summe_{u \in S}^{}(x|u)u$
[/mm]
besteht.
Im allgemeinen ist eine ONB von V keine algebraische Basis (Hamel-Basis) von V !!!
FRED
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