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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - lineare Unabhängigkeit
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lineare Unabhängigkeit: Aufgabe/Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:14 Do 16.06.2016
Autor: nightsusi

Aufgabe
Sei [mm] A\in M(n\times [/mm] n,K) eine invertierbare Matrix und seinen [mm] v_1,...,v_k \in K^n [/mm] linear unabhängig. Zeigen Sie: Die Vektoren [mm] Av_1,...,Av_k [/mm] sind auch linear unabhängig.

Hallo zusammen, auf den ersten Blick sieht die Aufgabe gar nicht so schwer aus und die Aussage erscheint mir logisch, aber ich weiß nicht wie ich da einen geeigneten Beweis finden soll.

Da die Matrix A invertierbar ist, exisitiert also ein [mm] A^{-1} [/mm] mit [mm] A*A^{-1}=E. [/mm]
Und wenn [mm] v_1,...,v_k [/mm] linear unabhängig sind, dann gilt:
[mm] \lambda_1 v_1+...+\lambda_k v_k=0 [/mm]
hat als einzige Lösung [mm] \lambda_1=...=\lambda_k=0 [/mm]

jetzt muss ich doch nur noch zeigen, dass auch
[mm] \lambda_1 Av_1+...+\lambda_k Av_k=0 [/mm]
als einzige Lösung [mm] \lambda_1=...=\lambda_k=0 [/mm] hat, oder?

Kann ich dann daraus folgendes machen, indem ich von links mit [mm] A^{-1} [/mm] multipliziere:
[mm] A^{-1}(\lambda_1 Av_1+...+\lambda_k Av_k)=0 [/mm]
[mm] \lambda_1 A^{-1}Av_1+...+\lambda_k A^{-1}Av_k)=0 [/mm]
[mm] \lambda_1 Ev_1+...+\lambda_k Ev_k)=0 [/mm]
[mm] \lambda_1 v_1+...+\lambda_k v_k)=0 [/mm]

hat als einzige Lösung  [mm] \lambda_1=...=\lambda_k=0 [/mm] da [mm] v_1,...,v_k [/mm] nach Voraussetzung lin. unabhängig sind.

Vielen Dank für Eure Anregungen und Kommentare

Liebe Grüße Susi


        
Bezug
lineare Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:16 Do 16.06.2016
Autor: fred97


> Sei [mm]A\in M(n\times[/mm] n,K) eine invertierbare Matrix und
> seinen [mm]v_1,...,v_k \in K^n[/mm] linear unabhängig. Zeigen Sie:
> Die Vektoren [mm]Av_1,...,Av_k[/mm] sind auch linear unabhängig.
>  Hallo zusammen, auf den ersten Blick sieht die Aufgabe gar
> nicht so schwer aus und die Aussage erscheint mir logisch,
> aber ich weiß nicht wie ich da einen geeigneten Beweis
> finden soll.
>  
> Da die Matrix A invertierbar ist, exisitiert also ein
> [mm]A^{-1}[/mm] mit [mm]A*A^{-1}=E.[/mm]
> Und wenn [mm]v_1,...,v_k[/mm] linear unabhängig sind, dann gilt:
> [mm]\lambda_1 v_1+...+\lambda_k v_k=0[/mm]
> hat als einzige Lösung [mm]\lambda_1=...=\lambda_k=0[/mm]
>  
> jetzt muss ich doch nur noch zeigen, dass auch
> [mm]\lambda_1 Av_1+...+\lambda_k Av_k=0[/mm]
> als einzige Lösung [mm]\lambda_1=...=\lambda_k=0[/mm] hat, oder?
>  
> Kann ich dann daraus folgendes machen, indem ich von links
> mit [mm]A^{-1}[/mm] multipliziere:
>  [mm]A^{-1}(\lambda_1 Av_1+...+\lambda_k Av_k)=0[/mm]
>  [mm]\lambda_1 A^{-1}Av_1+...+\lambda_k A^{-1}Av_k)=0[/mm]
>  
> [mm]\lambda_1 Ev_1+...+\lambda_k Ev_k)=0[/mm]
>  [mm]\lambda_1 v_1+...+\lambda_k v_k)=0[/mm]
>  
> hat als einzige Lösung  [mm]\lambda_1=...=\lambda_k=0[/mm] da
> [mm]v_1,...,v_k[/mm] nach Voraussetzung lin. unabhängig sind.
>  
> Vielen Dank für Eure Anregungen und Kommentare

Alles Bestens !

FRED

>  
> Liebe Grüße Susi
>  


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