lineare Unabhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Schönen guten Abend!
hab mal ne frage zu folgender aufgabe:
es seien a,b,c linear unabhängige vektoren eines K-vektorraumes. entscheiden sie, ob die folgenden vektoren linear abhängig oder unabhängug sind. beachten sie, dass die antwort auch von den eigenschaften des körpers K abhängen kann. geben sie, falls dieser fall eintritt, einen körper an, für den die vektoren linear unabhängig sind und einen anderen körper, für den die vektoren linear abhängig sind.
hier nun die vektoren:
a) -a,a+b+b
b) a-b,b+c,b-c
c)a-b,a-c,b-c
also ich hab jetzt versucht, dass durch beispiele mir vorstellen zu können
a=(1,0,0) b=(0,1,0) c=(0,0,1)
dann wäre
a) -a=(-1,0,0) a+b+b=(1,2,0)
[mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 0}=\vektor{1 \\ 2 \\ 0}, [/mm] es gibt kein [mm] \lambda [/mm] , dass diese bedingung erfüllt, also linear unabhängig
b) [mm] a-b=\vektor{1 \\ -1 \\ 0}, b+c=\vektor{0 \\ 1 \\ 1},b-c= \vektor{0 \\ 1 \\ -1} [/mm]
[mm] \lambda *\vektor{1 \\ -1 \\ 0}+\mu*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}+ \nu*\vektor{0 \\ 1 \\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] nur, wenn alle drei koeffizienten =0, also linear unabhängig
[mm] c)a-b=\vektor{1 \\ -1 \\ 0}, a-c=\vektor{1 \\ 0 \\ -1}, [/mm] b-c= [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -1} [/mm]
[mm] \lambda *\vektor{1 \\ -1 \\ 0}+\mu*\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+ \nu*\vektor{0 \\ 1 \\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] nur, wenn alle drei koeffizienten =0, also linear unabhängig
aber wie stell ich das nun mit den unterschiedlichen körpern an? könnt ihr mir vielleicht ein beispiel geben?
liebe grüße
|
|
| |
|
> Schönen guten Abend!
> hab mal ne frage zu folgender aufgabe:
> es seien a,b,c linear unabhängige vektoren eines
> K-vektorraumes. entscheiden sie, ob die folgenden vektoren
> linear abhängig oder unabhängug sind. beachten sie, dass
> die antwort auch von den eigenschaften des körpers K
> abhängen kann. geben sie, falls dieser fall eintritt, einen
> körper an, für den die vektoren linear unabhängig sind und
> einen anderen körper, für den die vektoren linear abhängig
> sind.
> hier nun die vektoren:
> a) -a,a+b+b
> b) a-b,b+c,b-c
> c)a-b,a-c,b-c
> also ich hab jetzt versucht, dass durch beispiele mir
> vorstellen zu können
Hallo,
es ist sicher eine gute Idee, sich das erstmal anhand von Beispielen vorzustellen, aber Dir ist klar, daß Du für "linear unabhängig" das allgemein zeigen mußt mit a,b,c ?
Ich will Dir das einmal für Aufg. a) vormachen und dabei gleich zeigen, worauf die Frage nach den Körpereigenschaften hinausläuft.
Seien a,b [mm] \in [/mm] V linear unabhängig, und seien [mm] \lambda, \mu \in [/mm] K mit
[mm] 0=\lambda [/mm] (-a) + [mm] \mu [/mm] (a+b+b)
==> [mm] 0=(-\lambda [/mm] + [mm] \mu)a [/mm] + [mm] (\mu +\mu)b
[/mm]
==> (weil a und b n.V. linear unabhängig) [mm] -\lambda [/mm] + [mm] \mu=0 [/mm] und [mm] \mu+ \mu=0
[/mm]
[mm] ==>\lambda=\mu [/mm] und [mm] (1+1)\mu=0
[/mm]
So.Vor dem forschen Weiterrechnen nun kurz innegehalten! Sinnieren... Meditieren...
Wie's jetzt weitergeht, hängt nämlich vom jeweiligen Körper ab!
1.Fall:
K ist so beschaffen, daß [mm] 1+1\not=0 [/mm] ist.
Dann folgt [mm] \mu=0, [/mm] somit [mm] \lambda=0, [/mm] also lineare Unabhängigkeit.
2.Fall
K ist so, daß 1+1=0. (Ein Beispiel für einen solchen Körper habt Ihr gehabt, bestimmt.)
Dann folgt mitnichten, daß [mm] \mu=0 [/mm] sein muß!
Dann hat man nämlich a+b+b=a+(1+1)b=a+0b=a, und dieser Vektor ist lin. abh. von (-a).
So. Ich hoffe, daß ich Dich auf die richtige Spur gestellt habe zur weiteren Bearbeitung der Aufgabe.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Do 24.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Danke erstmal für die hilfestellung. habe jetzt analog die anderen beispiele durchgerechnet und würde gerne wissen, ob ich die ergebnisse richtig interpretiert habe.
also
a)
a-b,b+c,b-c
[mm] \lambda*(a-b)+\mu*(b+c)+ \nu*(b-c)=0
[/mm]
[mm] \lambda*a-\lambda*b+\mu*b+\mu*c+ \nu*b- \nu*c=0
[/mm]
b*( [mm] \nu+\mu)+c*(\mu- \nu)+\lambda*a-\lambda*b=0
[/mm]
da a,b,c laut vereinbarung linear unanhängig ergibt sich
[mm] \mu+\nu=0, \mu-\nu=0, [/mm] d.h. [mm] \mu=\nu, [/mm] damit ist [mm] \mu+\nu=\mu+\mu=(1+1)*\mu=0
[/mm]
weiterhin gilt mit anderer umformung
[mm] b*(\mu-\lambda)+c*(\mu- \nu)+\lambda*a- \nu*b=0
[/mm]
also [mm] \mu-\lambda=0, [/mm] d.h. [mm] \mu=\lambda [/mm] und da [mm] \mu=\nu, [/mm] also [mm] \mu=\nu=\lambda [/mm]
die drei vektoren sind in GF2 lin.unabhängig, da dort [mm] \mu+\nu=\mu+\mu=(1+1)*\mu=0, [/mm] also [mm] \mu=\nu=\lambda [/mm] =0 und in [mm] \IR [/mm] lin. abhängig, da dort 1+1 [mm] \not= [/mm] 0
b) a-b,a-c,b-c
[mm] \lambda*(a-b)+\mu*(a-c)+ \nu*(b-c)=0
[/mm]
[mm] \lambda*a-\lambda*b+\mu*a-\mu*c+ \nu*b- \nu*c=0
[/mm]
[mm] a*(\lambda+\mu)+b*( \nu-\lambda)+c*(-\mu- \nu)=0, [/mm] also
[mm] \lambda+\mu=0, \nu-\lambda=0, -\mu- \nu=0,
[/mm]
damit [mm] \nu=\lambda, -\mu=\nu=\lambda
[/mm]
und damit würde ich sagen sind die drei vektoren immer linear unabhängig
ist das so richtig?
liebe grüße und danke fürs durchsehen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Do 24.11.2005 | | Autor: | Franzie |
also bedeutet das zweite beispiel, wo ich als resultat hatte
- [mm] \mu= \lambda= \nu, [/mm] dass die drei vektoren linear abhängig sind?
und bei der ersten dachte ich, wenn ich das durch zwei verschiedene darstellungen schreibe, also
[mm] b*(\mu+\nu)+c*(\mu-\nu)+\lambda*a-\lambda*b [/mm] ist
[mm] \mu+\nu=0, \mu-\nu=0 [/mm] und damit [mm] \mu=\nu [/mm]
und wenn ich das nun anders ausklammere erhalte ich doch
[mm] b*(\mu-\lambda)+c*(\mu-\nu)+\lambda*a-b*\nu=0
[/mm]
und hier sehe ich
[mm] \mu-\lambda=0, [/mm] also [mm] \mu=\lambda [/mm] und aus obiger gleichung weiß ich [mm] \mu=\nu [/mm] , also [mm] \mu=\lambda =\nu [/mm]
kann ich das nicht so machen?
und nun dachte ich weil [mm] \mu+\nu=\mu+\mu=(1+1)*\mu=0
[/mm]
da 1+1 in GF2 = 0, also in GF2 [mm] \mu=\lambda =\nu=0 [/mm] und somit linear unabhängig (und in R linear anhängig) oder nicht?
|
|
|
| |
|
> also bedeutet das zweite beispiel, wo ich als resultat
> hatte
> - [mm]\mu= \lambda= \nu,[/mm] dass die drei vektoren linear abhängig
> sind?
Ja. Denn nichts deutet darauf hin, daß sie alle =0 sein müssen. Du könntest [mm] \nu=-217 [/mm] wählen, und alles würde prächtig klappen.
>
> und bei der ersten dachte ich, wenn ich das durch zwei
> verschiedene darstellungen schreibe
>...
> kann ich das nicht so machen?
Nein, weil Du immer einfach eine Hälfte deiner Gleichung ignorierst!
Guck nochmal nach, was Loddar Dir zu diesem Thema geschrieben hat.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Gegenfrage: Was ist denn mit folgender Kombination?
