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Forum "Uni-Lineare Algebra" - lineare abbildungen
lineare abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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lineare abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:04 Di 21.02.2006
Autor: bubble

Aufgabe
Gegeben seien in R3 die beiden Vektoren v1=(1,2,-1) und v2=(2,1,4). Zeigen sie: Es gibt unendlich viele lineare Abbildungen f:R3->R2 mit f(v1)=(1,0) und f(v2)=(0,1).

Ich habe überhaupt keinen Ansatz zu dieser Aufgabe. Kann mir jemand einen kleinen Tipp geben, damit ich wenigstens einen Ansatz habe?



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
lineare abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:52 Di 21.02.2006
Autor: Astrid

Hallo bubble,


und [willkommenmr]. Auch wir freuen uns über eine Begrüßung von deiner Seite. :-)


> Gegeben seien in R3 die beiden Vektoren v1=(1,2,-1) und
> v2=(2,1,4). Zeigen sie: Es gibt unendlich viele lineare
> Abbildungen f:R3->R2 mit f(v1)=(1,0) und f(v2)=(0,1).

Zunächst läßt sich jede lineare Abbildung durch eine (darstellende) Matrix beschreiben. In deinem Fall werden Vektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] auf Vektoren des [mm] $\IR^2$ [/mm] abgebildet, also brauchst du eine $2 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix. Die nenne ich [mm]A[/mm].

Nun soll gelten:

[mm]A \pmat{1\\2\\-1}=\pmat{1\\0}[/mm]

sowie

[mm]A\pmat{2\\1\\4}=\pmat{0\\1}[/mm].

Mit [mm]A=\pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}}[/mm]

kannst du dir nun 4 Gleichungen aufstellen und mußt nur noch zeigen, dass dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat.

Viele Grüße
Astrid
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lineare abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 Di 21.02.2006
Autor: bubble

Danke für den Tipp. Der hat mir weitergeholfen. Wenn ich nun diese vier Gleichungen in einem linearen Gleichungssxstem löse, sieht man, dass die Vektoren abhängig voneinander sind. Bedeutet dies, dass es desalb unendlich viele Lösungen gibt?
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lineare abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:03 Di 21.02.2006
Autor: DaMenge

Hi,

ja und nein !

Man sieht es schon irgendwie daran, aber wenn du es begründen würdest, müsstest du mehr argumentieren als lineare abhängigkeit.

Man braucht hier die Matrix auch gar nicht, denn eine lineare Abbildung ist eindeutig durch die Bilder einer Basis bestimmt.

Deine zwei Vektoren sind linear unabhänig, also kann man nach dem Basisergänzungssatz noch einen dritten Vektor [mm] v_3 [/mm] ergänzen damit man eine Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] hat.

dann setzt man einfach [mm] $f(v_1)=e_1$ [/mm] und [mm] $f(v_2)=e_2$ [/mm]
(also so, wie in der aufgabenstellung verlangt)
und hat dann noch unendlich viele Möglichkeiten das Bild von [mm] v_3 [/mm] zu wählen...
(das Bild bleibt dennoch immer dasselbe..)

wie gesagt : die Bilder der Basisvektoren bestimmen schon die Abbildung eindeutig.

viele Grüße
DaMenge
Bezug
                                
Bezug
lineare abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:00 Di 21.02.2006
Autor: Astrid

Hallo DaMenge,

stimmt, das ist natürlich viel schöner! :-)

Viele Grüße
Astrid
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Bezug
lineare abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:09 Mi 22.02.2006
Autor: bubble

Danke, eure Antworten haben mir geholfen!


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