lineare abhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen SIe die reellen Zahlen a, für die die Vektoren linear abhängig sind.
[mm] \vektor{a \\ 3 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ a \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 3 \\ a} [/mm] |
soo ich habe es mit dem ansatz
[mm] \vektor{a \\ 3 \\ 1} [/mm] = r [mm] *\vektor{1 \\ a \\ 1} [/mm] + [mm] s*\vektor{1 \\ 3 \\ a}
[/mm]
probiert,
doch ich komme auf keine lösung wenn ich daraus ein lineares gleichungssystem mache....
könnt ihr mir vielleicht helfen??
lg
ps: habe die frage sonst nirgendwo gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Mi 24.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Rechne doch vor, was du gemacht hast. Dann sehen wir deinen Fehler.
Es geht so, besser ist das homogene GS
[mm] \alpha*v^+\beta*v2+\gamma*v3=0 [/mm] zu lösen, und die Lösungen zu finden, so dass nicht alle der 3 [mm] \alpha [/mm] usw. verschwinden.
Gruss leduart
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also ganz kurz da ist ein fehler drin das soll ein a sein kein alpha ; )das hat sich irgendwie umgewandelt
also ich habs jetzt nochmal so gemacht
ra + s + t = 0
3r + sa + 3t = 0
r + s + ta = 0
dann hab ich die dritte mit -3 multipliziert und dann die zweite und die dritte addiert
=> aber dann weiß ich nicht weiter
da steht dann as -3s + 3 - 3a = 0
und dann häng ich dann wieder
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also einmal :
ra + s + t = 0
3r + sa + 3t = 0
r + s + ta = 0
dann hab ich die dritte mit -3 multipliziert und dann die zweite und die dritte addiert
=> aber dann weiß ich nicht weiter
da steht dann as -3s + 3 - 3a = 0
und dann häng ich dann wieder
und dann hab ich so probiert:
[mm] \vektor{a \\ 3 \\ 1} [/mm]
[mm] \vektor{1 \\ a \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 3 \\ a}
[/mm]
a = r + s
3 = ar + 3s
1 r + as
und dann taucht das selbeproblem wieder auf ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Mi 24.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
1. Ansatz:
> also einmal :
>
> ra + s + t = 0
> 3r + sa + 3t = 0
> r + s + ta = 0
>
> dann hab ich die dritte mit -3 multipliziert und dann die
> zweite und die dritte addiert
>
> => aber dann weiß ich nicht weiter
>
> da steht dann as -3s + (3 - 3a)t = 0
> und dann häng ich dann wieder
2. Ansatz:
> und dann hab ich so probiert:
>
> [mm]\vektor{a \\ 3 \\ 1}[/mm]
> [mm]\vektor{1 \\ a \\ 1}[/mm]
> [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ a}[/mm]
>
> a = r + s
> 3 = ar + 3s
> 1 r + as
>
> und dann taucht das selbeproblem wieder auf ???
Bevor ich viel zu den einzelnen Ansätzen schreibe, sollten wir uns auf einen der beiden Ansätze einigen. Wie gesagt ist der 2. Ansatz eigentlich nicht ganz korrekt. Aber wenn ihr lineare Abhängigkeit (fälschlicherweise) so erklärt habt und du mit Leduarts Ansatz daher gar nichts anzufangen weißt, würde ich mich mal trotzdem darauf einlassen. Wie habt ihr lineare Abhängigkeit definiert?
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also bei uns heißt lineare abhängigkeit das ein vektor als linearkombination der andern beiden vektoren darstellbar ist
welcher ansatz ist mir egal ich habe mit beiden schon mit andern zahlen problemlos gerechnet und weiß mit beiden etwas anzufangen ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Mi 24.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> also bei uns heißt lineare abhängigkeit das ein vektor
> als linearkombination der andern beiden vektoren
> darstellbar ist
Wichtig: Nicht jeder Vektor muss als Linearkombination der anderen darstellbar sein.
> welcher ansatz ist mir egal ich habe mit beiden schon mit
> andern zahlen problemlos gerechnet und weiß mit beiden
> etwas anzufangen ...
Dann nehmen wir doch den korrekten  .
Die Frage ist (in Abhängigkeit von der Wahl von a): Gibt es r, s und t, die nicht alle 0 sind und unser Gleichungssystem lösen?
Also betrachten wir a als feste Zahl und untersuchen, welche r, s und t das Gleichungssystem lösen!
Dann probier einmal, das Gleichungssystem zu lösen (zumindest anzufangen, bis du an eine kritische Stelle kommst)! Dabei solltest du unbedingt ausschließlich Äquivalenzumformungen machen, sonst verlieren wir beide den Überblick.
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also
ra + s + t = 0
3r + sa + 3t = 0
r + s + ta = 0
da ich jetzt jede variable einmal in abhängigkeit von a habe würde ich glaube ich versuchen nach a aufzulösen, da ich mit dem additionsverfahren ja bei 3 gleichungen mit 4 unbekannten nicht weiter komme .... ist das so richtig dann ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Mi 24.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> ra + s + t = 0
> 3r + sa + 3t = 0
> r + s + ta = 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> da ich jetzt jede variable einmal in abhängigkeit von a
> habe würde ich glaube ich versuchen nach a aufzulösen, da
> ich mit dem additionsverfahren ja bei 3 gleichungen mit 4
> unbekannten nicht weiter komme .... ist das so richtig dann
> ?
Das hilft nicht weiter. Wie ich im letzten Post schrieb: a ist eine fest vorgegebene Zahl, für die wir nun untersuchen wollen, ob die Vektoren linear abhängig sind. Dazu müssen wir herausfinden, ob es r, s und t gibt, die nicht alle 0 sind und das Gleichungssystem erfüllen. Dazu bestimmen wir einfach alle r, s und t, die das Gleichungssystem erfüllen.
Also: a ist eine feste Zahl, r, s und t sind die 3 Unbekannten des Gleichungssystems.
Wenn du gar nicht weiterkommst, probiere es erstmal z.B. mit a=5.
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okay
also mit a = 5 ist das ganze kein problem und stimmt auch
hab dann nach dem selben prinzip nochmal mit a gemacht:
ar + s + t = 0 * -3
3r + as + 3t = 0
r + s + at = 0
udn dann die erste und die zweite addiert
- a + (- 3 + a) * s = 0
- a - 3s + as = 0
und dann häng ich wieder
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Mi 24.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> also mit a = 5 ist das ganze kein problem und stimmt auch
Was meinst du mit stimmt auch? Ich habe heraus, dass die Vektoren für a=5 linear unabhängig sind.
> hab dann nach dem selben prinzip nochmal mit a gemacht:
Guter Ansatz!
> ar + s + t = 0 * -3
> 3r + as + 3t = 0
> r + s + at = 0
>
>
> udn dann die erste und die zweite addiert
>
> - a + (- 3 + a) * s = 0
Mach bitte konsequent Äquivalenzumformungen! Sonst verliere zumindest ich den Überblick! Also zunächst drei Gleichungen beibehalten. Z.B. die erste Gleichung ersetzen durch die Summe von erster und zweiter Gleichung. Wir erhalten so:
- a + (- 3 + a) * s = 0
3r + as + 3t = 0
r + s + at = 0
> - a + (- 3 + a) * s = 0
> - a - 3s + as = 0
a ist unsere feste Zahl. Z.B. für a=5 hättest du hier - 5 + (- 3 + 5) * s = 0 umgeformt in - 5 - 3s + 5s = 0. Dieser Schritt erschwert das weitere Lösen des Gleichungssystems.
> und dann häng ich wieder
Versuche das, was du mit 5 gemacht hast, genauso mit beliebigem a zu tun!
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okayyy
vielen dank für deine geduld jetzt klappts und ich bekomms hin
dankeeeee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Mi 24.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Vorsicht! Das ging jetzt etwas schnell!
Nicht alles geht genau so wie im Fall a=5.
Ich habe für drei Werte von a heraus, dass die Vektoren linear abhängig sind!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Mi 24.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Sorry, habe gerade bei mir einen Rechenfehler gefunden. Es gibt aber in jedem Fall mindestens einen Wert für a, so dass die Vektoren linear abhängig sind.
Wäre toll, wenn du deinen Lösungsansatz hier aufschreiben könntest! Dann könnte ich darauf eingehen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Mi 24.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Diese Frage sollte sich in der Zwischenzeit erübrigt haben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Mi 24.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> soo ich habe es mit dem ansatz
>
> [mm]\vektor{a \\ 3 \\ 1}[/mm] = r [mm]*\vektor{1 \\ a \\ 1}[/mm] +
> [mm]s*\vektor{1 \\ 3 \\ a}[/mm]
>
> probiert,
Wenn du Zahlen r und s findest, so dass diese Gleichung gilt, sind die drei Vektoren linear abhängig. Wenn du keine solchen Zahlen findest, hast du aber noch nicht gezeigt, dass die drei Vektoren linear unabhängig sind! Dazu müsstest du zeigen, dass KEINER der drei Vektoren sich als Linearkombination der anderen schreiben lässt.
Einfacher geht es mit Leduarts Ansatz!
Viele Grüße
Tobias
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also an sich erscheinen mir eure wege ja beide klar aber könnte mir einer von euch das vorrechnen weil ich rechne immer nur im kreis : ( ich komm irgendwie nicht weiter ...
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Hallo,
zeig' doch mal, was Du so rechnest.
Dann koennen wir Dir auch besser helfen.
Gruß
ChopSuey
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