lineare abhängigkeit < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 So 07.03.2010 | | Autor: | quade521 |
Hallo,
ich habe hier ein LGS mit einem Paramter 3 Gleichungen und 3 Variabelen
I) x-a*y-6z=a
II) -x+2y-z=5
III) 2x-2y+4z=-5
Jetzt steht in der Lösung, dass das LGS für a=9 unlösbar ist. Bedeutet dies denn nicht aber auch, dass für a=9 eine Gleichung durch linearkombination der anderen beiden hergestellt werden kann ? Das funktioniert aber bei a=9 nicht. Die Gleichungen sidn nicht linear abhängig ...
kann da jemand weiterhelfen?
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Hallo.
Die Gleichung als Gesamtes ist dann nicht abhängig, da hast du recht. Aber betrachte mal die beiden Seiten getrennt.
Die linke Seite des Gleichungssystems ist linear abhängig für den Fall [mm]a=9[/mm]. Denn [mm]-8\cdot II -\frac{7}{2}\cdot III[/mm] ergibt genau die erste Zeile auf der linken Seite. Für die rechte Seite ergibt sich mit diesen Parametern aber keine Gleichheit. Deshalb ist das LGS auch nicht lösbar.
Vielleicht hast du ja schon mal was von der Matrixschreibweise gehört. Sei
[mm]A=\pmat{1 & -9 & -6 \\-1 &2 &-1\\2&-2&4}[/mm] und [mm]b=\vektor{9\\5\\-5}[/mm]
Dann ist [mm]Ax=b[/mm] genau dein Gleichungssystem. Jetzt gilt [mm]rg(A)
Eine weitere Methode, um die Nichtlösbarkeit zu zeigen, wäre, wenn du den Gauss-Algorithmus anwendest. Dann solltest du auf eine falsche Aussage kommen, z.B. [mm]0=3[/mm] oder so etwas in der Richtung.
Gruß
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 So 07.03.2010 | | Autor: | quade521 |
Hallo,
da jetzt die linearfaktoren mit denen die abhängigkeit erklärt werden kann (-8 und -7/2) nicht gerade ins auge fallen wollte ich wissen ob es da ne allgemeine lösung gibt das herauszubekommen, also man kann ja die linke seite des LGS komplett gleich 0 setzten aber da kommt kommt dann ein LGS mit unendlich vielen Lösungen raus, das steht jedoch im wiederspurch dazu, dass a nur nicht 9 sein darf oder?
$ [mm] A=\pmat{1 & -9 & -6 & 0\\-1 &2 &-1 & 0\\2&-2&4&0} [/mm] $
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> Hallo,
> da jetzt die linearfaktoren mit denen die abhängigkeit
> erklärt werden kann (-8 und -7/2) nicht gerade ins auge
> fallen wollte ich wissen ob es da ne allgemeine lösung
> gibt das herauszubekommen,
Die Linearfaktoren bekommt man ganz klassisch raus, indem man [mm]\vektor{1\\-9\\-6}=r\cdot\vektor{-1\\2\\-1}+s\cdot\vektor{2\\-2\\4}[/mm] löst. Also
[mm]-r+2s=1[/mm]
[mm]2r-2s=-9[/mm]
ergeben [mm]r=-8[/mm] und [mm]s=-7/2[/mm] und dann noch in die letzte Zeile einsetzen und überprüfen.
> also man kann ja die linke seite
> des LGS komplett gleich 0 setzten aber da kommt kommt dann
> ein LGS mit unendlich vielen Lösungen raus, das steht
> jedoch im wiederspurch dazu, dass a nur nicht 9 sein darf
> oder?
Eigentlich ist da kein Widerspruch. Das sieht man so:
[mm]\pmat{1 & -9 & -6 \\-1 &2 &-1 \\2&-2&4}\vektor{x\\y\\z}[/mm]
oder halt
[mm]x -9y -6z[/mm]
[mm]-x+2y -1z [/mm]
[mm]2x-2y+4z[/mm]
erzeugt bestimmte Vektoren (rechte Seiten beim Gleichungssystem). Manchmal (wie auch in diesem Fall) bilden mehrere Kombinationen aus x,y und z auf den Nullvektor ab. Das heißt aber, dass andere Vektoren nicht aus dieser Bildungsvorschrift erstellt werden können.
Beispiel:
[mm] x+y=a[/mm]
[mm] x+y=b[/mm]
So trivial das Beispiel auch sein mag, es veranschaulicht das Prinzip ganz gut. Offensichtlich muss für jede Wahl von [mm] x[/mm] und [mm]y [/mm] immer gelten [mm] a=b [/mm]. Falls [mm] a=1[/mm] und [mm] b=2[/mm] ist das Gleichungssystem nicht lösbar.
Du hast mehr oder weniger zufällig die rechte Seite deines LGS 0 gesetzt, ob wohl du (sorry, wenn ich dir Unrecht tue) nicht bedacht hast, dass ein Gleichungssystem dann immer eine Lösung besitzt.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 So 07.03.2010 | | Autor: | quade521 |
Hallo,
ich hatte die rechte Seite des LGS gleich null gesetzt weil ich gedacht habe, dass allgemein für linear abhängige vektoren gilt
[mm] a*\vec{r}+b*\vec{s}+c*\vec{n}=\vec{0} [/mm] bzw. 0 ergibt, dass ist doch das allgemeien kriterium für lineare abhängigkeit oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 So 07.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> ich hatte die rechte Seite des LGS gleich null gesetzt
> weil ich gedacht habe, dass allgemein für linear
> abhängige vektoren gilt
>
> [mm]a*\vec{r}+b*\vec{s}+c*\vec{n}=\vec{0}[/mm] bzw. 0 ergibt, dass
> ist doch das allgemeien kriterium für lineare
> abhängigkeit oder?
Hallo,
ganz gleich, ob abhängig oder unabhängig:
die Gleichung [mm]a*\vec{r}+b*\vec{s}+c*\vec{n}=\vec{0}[/mm] hat IMMER als eine mögliche Lösung den Fall
a=0 UND =0 UND c=0.
Bei abhängigen Vektoren gibt es aber außer (0;0;0) noch mindestens ein weiteres (sogar unendlich viele) Lösungstripel (a;b;c), während bei unabhängigen Vektoren (0;0;0) das einzige Lösungstripel ist.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 So 07.03.2010 | | Autor: | quade521 |
hallo,
das bedeutet doch nur, falls ich eben 9 für a einsetzte gibt es unendlich viele Möglichkeiten eine der drei ebenen als linearkombination aus den beiden anderen darzustellen oder?
Und als zweites wäre denn die Matrix zur bestimmung so richtig wie in meiner zweiten Frage?
und weshalb gibt es für keinen wert für a unendlich viele Lösungen des LGS?
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> hallo,
> das bedeutet doch nur, falls ich eben 9 für a einsetzte
> gibt es unendlich viele Möglichkeiten eine der drei ebenen
> als linearkombination aus den beiden anderen darzustellen
> oder?
Welche 3 Ebenen? Aber wenn zwei Ebenen sich schneiden (aber nicht identisch sind), dann gibt 3 unabhängige Richtungsvektoren. Damit können 3 Vektoren, die linear abhängig sind, nicht zwei Ebenen darstellen, die sich schneiden.
> Und als zweites wäre denn die Matrix zur bestimmung so
> richtig wie in meiner zweiten Frage?
Die Matrix, die du angegeben hast, nennt man die erweiterte Koeffizientenmatrix, d.h. sie enthält auch die rechte Seite des Gleichungssystems. Mit anderen Worten: Ja, sie ist richtig.
> und weshalb gibt es für keinen wert für a unendlich
> viele Lösungen des LGS?
weil nur für [mm] a =9[/mm] die linken Seiten der Gleichungen linear abhängig sind. Wenn du aber die rechten Seiten mit betrachtest, dann sind die Gleichungen wieder linear unabhängig. Wenn du unendlich viele Lösungen haben möchtest, dann müssten die Gleichungen auch l.a. sein, wenn du die rechten Seiten einbeziehst.
Tobias
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