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Forum "Lineare Abbildungen" - lineare abhängigkeit
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lineare abhängigkeit: tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 Do 22.04.2010
Autor: grafzahl123

Aufgabe
zu zeigen:
2 vektoren x= [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} [/mm] und
y= [mm] \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} [/mm] sind genau dann linear abhängig, wenn gilt [mm] x_1y_2=x_2y_1 [/mm] im [mm] \IR^2 [/mm]

irgendwie is das ja klar, aber ich weiß nich so recht wie ich das zeigen kann. habs mal so probiert:
[mm] x_1y_2=x_2y_1 [/mm]   <=>   [mm] \bruch{x_1}{x_2} [/mm] = [mm] \bruch{y_1}{y_2} [/mm]  
das heißt ja , dass der kleinste gemeinsame teiler beider brüche gleich sein muss. oder so ähnliuch. kann man irgendwie so argumentieren. oder gibts nen besseren ansatz.
bin für alles offen :-)
danke schon mal im voraus für die hilfe.

ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt!

        
Bezug
lineare abhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:22 Do 22.04.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> zu zeigen:
>  2 vektoren x= [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}[/mm]
> und
> y= [mm]\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}[/mm] sind genau
> dann linear abhängig, wenn gilt [mm]x_1y_2=x_2y_1[/mm] im [mm]\IR^2[/mm]     [haee]

nach meiner Ansicht ist dies eine Gleichung in [mm] \IR [/mm]  (nicht in [mm] \IR^2) [/mm]

>  irgendwie is das ja klar, aber ich weiß nich so recht wie
> ich das zeigen kann. habs mal so probiert:
>  [mm]x_1y_2=x_2y_1[/mm]   <=>   [mm]\bruch{x_1}{x_2}[/mm] = [mm]\bruch{y_1}{y_2}[/mm]  
>  
> das heißt ja , dass der kleinste gemeinsame teiler beider
> brüche gleich sein muss. oder so ähnliuch. kann man
> irgendwie so argumentieren. oder gibts nen besseren
> ansatz.
>  bin für alles offen :-)


Hallo grafzahl123,,

mit Teilbarkeitseigenschaften zu operieren bringt hier nicht
so viel, da die vorkommenden Zähler und Nenner im allge-
meinen gar nicht ganzzahlig sind !

Ich würde etwa von der Definition ausgehen:  x und y sind
genau dann linear abhängig, wenn ein Zahlenpaar [mm] (a,b)\in\IR^2 [/mm]
mit [mm] (a,b)\not=(0,0) [/mm] existiert mit $\ a*x+b*y=0$ . Diese Gleichung
in ihre beiden Komponentengleichungen auflösen und aus diesem
Gleichungssystem a und b eliminieren (dabei benützen, dass
garantiert entweder  [mm] a\not=0 [/mm]  oder  [mm] b\not=0 [/mm]  ist).

LG    Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
lineare abhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:59 Fr 23.04.2010
Autor: grafzahl123

mach ich das mal:
ax+by=0

=> a* [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} [/mm] + b* [mm] \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} [/mm] =  [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]

[mm] =>I_1: ax_1+by_1=0 [/mm]
    [mm] II_2: ax_2+by_2=0 [/mm]

=> [mm] II_2-I_1: ax_2-ax_1+by_1-by_2=0 [/mm]
=> [mm] a(x_2+x_1)+b(y_2-y_1)=0 [/mm]

aber ich weiß jetzt nicht wie ich weiter machen soll.
vielleicht mag mir ja einer helfen.



Bezug
                        
Bezug
lineare abhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:08 Fr 23.04.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> mach ich das mal:
>  ax+by=0
>  
> => a* [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}[/mm] + b*
> [mm]\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}[/mm] =  
> [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> [mm]=>I_1: ax_1+by_1=0[/mm]
>      [mm]II_2: ax_2+by_2=0[/mm]

Bleiben wir mal bei diesem Schritt. Dann einfach die Gleichungen voneinander abzuziehen, bringt nicht viel.
Mache nun eine Fallunterscheidung: Entweder $a [mm] \not [/mm] = 0$ oder $b [mm] \not= [/mm] 0$.

Fall 1: [mm] $a\not= [/mm] 0$. Dann folgt aus obigen LGS:

(I)':  [mm] $a*x_1*y_{2}+b*y_1*y_{2}=0$ [/mm]
(II)': [mm] $a*x_2*y_{1}+b*y_{1}*y_2=0$ [/mm]

Nun (I)' - (II)': [mm] $a*(x_{1}*y_{2} [/mm] - [mm] x_{2}*y_{1}) [/mm] = 0$.
Da [mm] $a\not= [/mm] 0$, folgt [mm] $x_{1}*y_{2} [/mm] - [mm] x_{2}*y_{1} [/mm] = 0$, also...


Grüße,
Stefan

Bezug
                                
Bezug
lineare abhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 Fr 23.04.2010
Autor: grafzahl123

danke erstmal für die hilfe

> Fall 1: [mm]a\not= 0[/mm]. Dann folgt aus obigen LGS:
>  
> (I)':  [mm]a*x_1*y_{2}+b*y_1*y_{2}=0[/mm]
>  (II)': [mm]a*x_2*y_{1}+b*y_{1}*y_2=0[/mm]
>  

ich versteh nich wie (I) und (II) entstehen, wenn [mm]a\not= 0[/mm] ist???
vielleicht da nochmal den ein oder anderen erklärenden hinweis wäre gut.

grüße,
jens

Bezug
                                        
Bezug
lineare abhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:58 Sa 24.04.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> danke erstmal für die hilfe
>  
> > Fall 1: [mm]a\not= 0[/mm]. Dann folgt aus obigen LGS:
>  >  
> > (I)':  [mm]a*x_1*y_{2}+b*y_1*y_{2}=0[/mm]
>  >  (II)': [mm]a*x_2*y_{1}+b*y_{1}*y_2=0[/mm]
>  >  
> ich versteh nich wie (I) und (II) entstehen, wenn [mm]a\not= 0[/mm]
> ist???
>  vielleicht da nochmal den ein oder anderen erklärenden
> hinweis wäre gut.
>  
> grüße,
>  jens


Hallo Jens,

Multiplikation der Gleichung  [mm] a\,x_1+b\,y_1=0 [/mm]  mit  [mm] y_2 [/mm] ergibt:

      [mm] a\,x_1*y_2+b\,y_1*y_2=0 [/mm]

Multiplikation der Gleichung  [mm] a\,x_2+b\,y_2=0 [/mm]  mit  [mm] y_1 [/mm] ergibt:

      [mm] a\,x_2*y_1+b\,y_1*y_2=0 [/mm]

Subtraktion der entstandenen Gleichungen liefert:

      [mm] a\,x_1*y_2-a\,x_2*y_1=0 [/mm]

Das kann man nun wegen [mm] a\not=0 [/mm]  durch a dividieren und kommt
zur gewünschten Gleichung. Im Falle, dass a=0 wäre, funktioniert
dies so nicht, aber dann kann man wegen [mm] b\not=0 [/mm] eine analoge
Rechnung anstellen, die zum selben Ziel führt.

Schönes Wochenende !

Al-Chw.





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