lineare abhängigkeit von vekto < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Di 09.01.2007 | | Autor: | maria26 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie p so, daß die Vektoren x und y+pz linear abhängig werden.
x=(1,2)
y=(2,2)
z=(-1,1) |
ich schreibe das so an:
(1,2)=(2,2)+p*(-1,1)
da kommt dann heraus:
1=2-p
2=2+p
........das ergibt irgendwie keinen sinn. kann mir da jemand weiterhelfen bitte?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Di 09.01.2007 | | Autor: | statler |
Guten Tag Maria und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie p so, daß die Vektoren x und y+pz linear
> abhängig werden.
> x=(1,2)
> y=(2,2)
> z=(-1,1)
> ich schreibe das so an:
> (1,2)=(2,2)+p*(-1,1)
> da kommt dann heraus:
> 1=2-p
> 2=2+p
> ........das ergibt irgendwie keinen sinn. kann mir da
> jemand weiterhelfen bitte?
Lineare Abhängigkeit ist etwa anders definiert:
[mm] r\*x [/mm] + [mm] s\*(y+pz) [/mm] = 0, r und s nicht beide 0
Versuch's mal damit ...
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Di 09.01.2007 | | Autor: | maria26 |
das heisst dann,
r*(1,2)+s*((2,2)+p*(-1,1))=0 ????
als gleichungssystem angeschrieben:
r+2s-ps=0
2r+2s+ps=0
stimmt das und ich komm da auf keine lösung???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Di 09.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ja du siehst schon, dass es problematisch wird, weil es kein lineares System mehr ist (in den drei Variablen)...
Aber es gibt noch einen Trick:
zwei Vektoren v und w (ungleich 0) sind genau dann linear abhängig, wenn der Eine ein skalares Vielfache des Anderen ist, also [mm] $r*\vektor{1\\2}=\vektor{2-p\\2+p}$
[/mm]
oder äquivalent:
[mm] $r*\vektor{1\\2}+p*\vektor{-1\\1}=\vektor{2\\2}$
[/mm]
dieses inhomogene system kannst du jetzt bestimmt auch lösen, oder?
aber vorsicht : es war davon die Rede, dass keine der beiden Vektoren [mm] $\vektor{1\\2}$ [/mm] bzw [mm] $\vektor{2-p\\2+p}$ [/mm] gleich dem Nullvektor sein darf.
(wenn nämlich einer der Vektoren der Nullvektor ist, dann sind die Vektoren sicher linear abhängig)
also musst du noch zusätzlich folgendes lösen/untersuchen:
[mm] $\vektor{2-p\\2+p}=\vektor{0\\0}$
[/mm]
(auch dazu schreiben, sonst ist die Antwort unvollständig !)
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Di 09.01.2007 | | Autor: | maria26 |
vielen dank für eure hilfestellungen, ich komme aber trotzdem nicht drauf wie es gehen soll???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:39 Mi 10.01.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Maria!
> das heisst dann,
>
> r*(1,2)+s*((2,2)+p*(-1,1))=0 ????
>
> als gleichungssystem angeschrieben:
> r+2s-ps=0
> 2r+2s+ps=0
>
> stimmt das und ich komm da auf keine lösung???
Das stimmt, und du kommst auch auf eine Lösung!
Wenn du p als fest ansiehst und r und s als die beiden Unbekannten, dann kannst du z. B. das 2fache der oberen Gleichung von der unteren abziehen und erhältst
s(2+p-4+2p) = 0
Wenn der Klammerinhalt [mm] \not= [/mm] 0 ist, folgt s=0 und damit auch r=0. Das soll aber gerade nicht der Fall sein, also muß die Klammer = 0 sein:
-2+3p = 0 gibt p = 2/3.
Damit weitergerechnet ergeben sich (unendlich) viele Lösungen für r und s. (Verständnisfrage: Warum?)
Du solltest dir das auch mit einer Zeichnung vergegenwärtigen, 1 Bild sagt bekanntlich mehr als 1000 Worte.
Einen schönen Tag noch aus HH-Harburg
Dieter
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