lineare beschränkte Operatoren < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Mi 06.11.2013 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Es sei [mm] $T_{\alpha}$ [/mm] eine Folge von linearen, beschränkten Operatoren, welche punktweise konvergieren. Also ist die Definition [mm] $T_0(f):=\lim_{\alpha }T_{\alpha}(f) [/mm] $ sinnvoll.
Man zeige, dass dann [mm] $T_0$ [/mm] selbst wieder eine lineare Abbildung ist. |
Frage:
Mein Problem mit der Aufgabe: Ich erkenne leider nicht wie ich hier zeigen soll, dass gilt: [mm] $T_0(f_1 [/mm] + [mm] f_2)= T_0(f_1) [/mm] + [mm] T_0(f_2),$ [/mm] also
[mm] $\lim_{\alpha} T_{\alpha}(f_1 [/mm] + [mm] f_2) [/mm] = [mm] \lim T_{\alpha} (f_1) [/mm] + [mm] \lim T_{\alpha} (f_2)$ [/mm]
Kann mir da jemand einen Tipp geben?
Eine reine Interessens-Frage an Euch: Ist klar ob [mm] $T_0$ [/mm] auch eine beschränkte lineare Abbildung ist, wenn alle Operatoren [mm] $T\alpha$ [/mm] beschränkt sind? Wenn ja, wieso?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Mi 06.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]T_{\alpha}[/mm] eine Folge von linearen, beschränkten
> Operatoren,
Ist [mm] \alpha \in \IN [/mm] ? Oder ist [mm] (T_{\alpha}) [/mm] ein Netz ?
> welche punktweise konvergieren. Also ist die
> Definition [mm]T_0(f):=\lim_{\alpha }T_{\alpha}(f) [/mm] sinnvoll.
> Man zeige, dass dann [mm]T_0[/mm] selbst wieder eine lineare
> Abbildung ist.
> Frage:
>
> Mein Problem mit der Aufgabe: Ich erkenne leider nicht wie
> ich hier zeigen soll, dass gilt: [mm]T_0(f_1 + f_2)= T_0(f_1) + T_0(f_2),[/mm]
> also
> [mm]\lim_{\alpha} T_{\alpha}(f_1 + f_2) = \lim T_{\alpha} (f_1) + \lim T_{\alpha} (f_2)[/mm]
>
> Kann mir da jemand einen Tipp geben?
[mm] T_0(f_1 [/mm] + [mm] f_2)= \lim T_{\alpha}(f_1+f_2)= \lim (T_{\alpha}(f_1)+T_{\alpha}(f_2))=\lim T_{\alpha}(f_1)+\lim T_{\alpha}(f_2)=T_0(f_1) +T_0( f_2)
[/mm]
>
> Eine reine Interessens-Frage an Euch: Ist klar ob [mm]T_0[/mm] auch
> eine beschränkte lineare Abbildung ist, wenn alle
> Operatoren [mm]T\alpha[/mm] beschränkt sind?
Nein. Bei nur punktweiser Konvergenz muss der Grenzoperator nicht beschränkt sein.
Versuche ein Beispiel dafür zu finden.
FRED
> Wenn ja, wieso?
>
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