lineare homogene term 2.ordn. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | bestimmung der allgemeinen lösung
y'' + 2y' +5y = 0
Welche Lösungskurve verläuft durch den Punkt P(0/1) und hat in diesem Punkt den Anstieg 1? |
y = [mm] e^{\lamba*x}
[/mm]
[mm] \lambda^{2} [/mm] + [mm] 2\lambda [/mm] +5 = 0
[mm] \lambda_{1,2} [/mm] = [mm] -1\pm \wurzel{4}
[/mm]
= -1 [mm] \pm [/mm] j*2
[mm] \lambda_{1}=-1+j2 [/mm]
[mm] \lambda_{2}=-1-j2
[/mm]
[mm] y_{1} [/mm] = [mm] e^{-x}[sin(2x)]
[/mm]
[mm] y_{2} [/mm] = [mm] e^{-x}[cos(2x)]
[/mm]
y = [mm] c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}
[/mm]
y = [mm] e^{-x} [c_{1}*sin(2x) [/mm] + [mm] c_{2} [/mm] * cos(2x)]
y' = [mm] -e^{-x} [c_{1}*sin(2x) [/mm] + [mm] c_{2} [/mm] * cos(2x)] + [mm] e^{-x} [c_{1}*cos(2x) [/mm] - [mm] c_{2} [/mm] * sin(2x)]
Anfangsbedingung P(0/1)
Y(0) =1
[mm] c_{2} [/mm] = 1
Steigung von 1
y´(0) =1
1= [mm] -c_{2} +c_{1}
[/mm]
[mm] c_{1} [/mm] = 2
y= [mm] e^{-x}[sin(2x) [/mm] + cos(2x)]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke schonmal 
|
|
| |
|
Hi,
schön, dass du es eingetippt hast.
> bestimmung der allgemeinen lösung
>
> y'' + 2y' +5y = 0
>
> Welche Lösungskurve verläuft durch den Punkt P(0/1) und
> hat in diesem Punkt den Anstieg 1?
>
> y = [mm]e^{\lamba*x}[/mm]
>
> [mm]\lambda^{2}[/mm] + [mm]2\lambda[/mm] +5 = 0
>
> [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = [mm]-1\pm \wurzel{4}[/mm]
erste kleine Fehler. Vermutlich Tippfehler.
>
> = -1 [mm]\pm[/mm] j*2
j? Besser wäre, wenn du wirklich auch das i benutzt.
>
> [mm]\lambda_{1}=-1+j2[/mm]
> [mm]\lambda_{2}=-1-j2[/mm]
>
> [mm]y_{1}[/mm] = [mm]e^{-x}[sin(2x)][/mm]
>
> [mm]y_{2}[/mm] = [mm]e^{-x}[cos(2x)][/mm]
>
> y = [mm]c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}[/mm]
>
> y = [mm]e^{-x} [c_{1}*sin(2x)[/mm] + [mm]c_{2}[/mm] * cos(2x)]
>
> y' = [mm]-e^{-x} [c_{1}*sin(2x)[/mm] + [mm]c_{2}[/mm] * cos(2x)] + [mm]e^{-x} [c_{1}*cos(2x)[/mm]
> - [mm]c_{2}[/mm] * sin(2x)]
Den letzten Summanden hast du falsch abgeleitet.
[mm] y'=-e^{-x}[c_{1}sin(2x)+c_{2}cos(2x)]+e^{-x} [c_{1}cos(2x)c_{2}sin(2x)]
[/mm]
Es ist
$(sin(2x))'=2*cos(2x)$
>
> Anfangsbedingung P(0/1)
>
> Y(0) =1
> [mm]c_{2}[/mm] = 1
>
> Steigung von 1
>
> y´(0) =1
>
> 1= [mm]-c_{2} +c_{1}[/mm]
> [mm]c_{1}[/mm] = 2
>
> [mm] y=e^{-x}[sin(2x)+cos(2x)]
[/mm]
Lösung stimmt.
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Danke schonmal
|
|
|
| |
|
danke dir
ok, das heißt dann ja auch dass der cos auch falsch abgeleitet wurde oder?
dann wäre es theoretisch am ende
1 = -1 [mm] +2*c_{1}
[/mm]
oder?
also wäre [mm] c_{1} [/mm] = 1
und die endlösung dann
y = [mm] e^{-x}[sin(2x) [/mm] +cos(2x)]
?
|
|
|
| |
|
Hello again,
> danke dir
>
> ok, das heißt dann ja auch dass der cos auch falsch
> abgeleitet wurde oder?
Richtig.
>
> dann wäre es theoretisch am ende
>
> 1 = -1 [mm]+2*c_{1}[/mm]
>
> oder?
>
> also wäre [mm]c_{1}[/mm] = 1
>
> und die endlösung dann
>
> y = [mm]e^{-x}[sin(2x)[/mm] +cos(2x)]
Wie gesagt, diese Lösung ist richtig.
>
> ?
Well done!
|
|
|
|
