lineare unabhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo,
liege ich richtig, wenn ich sage, dass die folgenden 4 vektoren linear abhängig sind. hab es mittels der determinante = 0 => linear abhängig gelöst
ist es eigentlich egal, ob ichs über die determinante oder mittels gleihungssystem löse??
v1 [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 } [/mm] v2 [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
v3 [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] v4 [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ 0 \\ 2 }
[/mm]
X:={v1,v2,v3,v4}
ich hätte dann jedoch das problem, dass ich die nachfolgende aufgabe nicht lösen kann, denn dort soll man X zu einem minimal erzeugenden system von erzeugnis X reduzieren.
wie muss ich jetzt vorgehen??, weiß nämlich nicht wie ich auf ein minimal erzeugendensystem komme, bzw. was es ist.
oder soll ich eine basis finden??
was ist den der unetrschied zwischen einem minimal erzeugendensystem und einer basis??
schonmal danke für die hilfe
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Natürlich ist es egal, ob du die lineare Abhängigkeit mittels Determinantenkriterium oder Gleichungssystems löst. Bei 3 Vektoren der Dimension 3 würde ich immer Determinantenkriterium wählen - ist ja sehr schnell gemacht.
Aber das ist geschmackssache, bei richtiger Bearbeitung solltest du bei beiden Kriterien auf das selbe Ergebnis kommen.
Ein minimal erzeugendes System ist immer eine Basis. Dabei ist zu beachten, dass eine Basis nichts zwangsläufig aus 1 Vektor bestehen muss. Daher auch der Name minimal erzeugendes System, weil in einer Basis nur linear unabhängige Vektoren vorkommen - also nie keiner doppelt ist (also durch andere erzeugt werden kann)...
Versuch dich an deiner Basis, bei Fragen einfach nochmal stellen ;)
Lg Kiki
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also sind die 4 vektoren linear abhängig,oder?
des problem liegt jetzt darin, wie ich auf die basis komme.?????
also die basis ist ja der vektor mit dem ich alle anderen abbilden kann mit geeignetem koeffizienten, wenn ich mich da net irre.
was macht des eigentlich für nen unterschied bei der bestimmung der basis, wenn die vektoren linear abhängig sind oder nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Sa 11.11.2006 | | Autor: | luis52 |
> also sind die 4 vektoren linear abhängig,oder?
Ja.
>
> des problem liegt jetzt darin, wie ich auf die basis
> komme.?????
Manchmal hilft die "Methode des scharfen Hinsehens": Offenbar sind die ersten
beiden Vektoren l.u. Ferner gilt [mm] $v_1+v_2=v_3$ [/mm] und [mm] $2v_1=v_4$. [/mm] Damit ist
[mm] $\{v_1,v_2\}$ [/mm] eine Basis des von [mm] $v_1,v_2,v_3,v_4$ [/mm] aufgespannten Unterraumes von [mm] $\IR^4$.
[/mm]
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also schonmal danke.
welche allgemeine methode gäbe es denn, auf dieses ergenis zu kommen, oder kann man es immer nur erraten?
nun besteht sozusagen das minimale erzeugendensystem su den vektoren v1 und v2
also aus der basis,stimmt?
einen kleinen tip brächte ich noch, wenn ich jetzt versuchen will dieses minimale erzeugendensystem durch geeignete stanadartbasisvektoren zu einer basis des [mm] \IR_{4} [/mm] zu ergänzen, wie müsste ich da vorgehen??
sind standartbasisvektoren eigentlich vketoren, die nur aus 1 und null bestehen, muss immer eine 0 enthalten sein, oder dürfen mehr als ein 1 oder eine -1 enthalten sein??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Sa 11.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
wenn man ganz viele oder sehr unschöne Vektoren hat, dann braucht man ein systematisches Vorgehen :
Wenn du die Vektoren als ZEILEN in eine Matrix schreibst und den Gauß mit seinen Zeilenoperationen anwendest, dann entsteht ja die Zeilenstufenform.
(beachte, dass du jede neue Zeile nur als Linearkombination der anderen schreibst, du bleibst also im selben Erzeugnis der Vektoren)
Wenn du dann die Zeilenstufenform vorliegen hast, dann sind alle Nicht-Null-Zeilen linear unabhängig, denn sie haben alle unterschiedlich viele Einträge durch die Stufenform.
Du hast also ein linear unabhängig Menge bekommen, die noch den selben Rang hat wie vorher bzw. noch das selbe Erzeugnis erzeugt, also eine Basis.
Ein kleiner Einschub:
Wenn du die Basis allerdings aus den ursprünglichen Vektoren haben willst (durch die Zeilenoperationen wurden die Vektoren ja verändert), dann musst du dir die Vertauschungen von Zeilen merken, die du dabei vorgenommen hast - also wenn in Zeilenstufenform der erst, zweite und vierte Vektor eine Nicht-Nullzeile ist, dann bildet der erste, zweite und vierte vektor der ursprünglichen Vektoren eine Basis, ES SEI DENN du hast zeilenvertauschungen vorgenommen, dann musst du diese auch an den ursprünglichen vornehmen um die eindeutige zuordnung zu behalten.
so, aber zurück zu unserer Zeilenstufenform:
Wenn der Rang kleiner als n ist, gibt es (mindestens) eine Zeile j, so dass $ [mm] a_{jj}=0 [/mm] $ (in Zeilenstufenform) ist.
dann erweitere man die Matrix um den j-ten Einheitsvektor (als ZEILE), dies mache man solange, bis man vollen Rang n hat.
alle Einheitsvektoren, die man hier erweitert hat, sind dann eine Erweiterung zu einem Erzeugendensystem !
Hinweis : der j-te Einheitsvektor ist der Vektor, der überall eine 0 stehen hat außer an position j - dort hat er eine 1 stehen.
Also mathematisch kurz mit dem Kronecker-symbol: [mm] $(e_j)_i=\delta_{ji}$
[/mm]
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:03 So 12.11.2006 | | Autor: | luis52 |
@ DaMenge: Danke. Prima erklaert.
@ roadrunnerms: Du kannst die Matrix mit den Spalten [mm] $v_1,v_2$ [/mm] um die Vektoren [mm] $e_1=(\delta_{1j}), e_2=(\delta_{2j}),e_3=(\delta_{3j}),e_4=(\delta_{4j})$ [/mm] erweitern. Wenn du das von DaMenge beschriebene Verfahren auf diese Matirix anwendest wirst du feststellen, dass [mm] $\{v_1,v_2_,e_1,e_3\}$ [/mm] eine Basis des [mm] $\IR^4$ [/mm] bilden. Berechne zur Probe die Determinante der zugehoerigen Matrix.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 So 12.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi nochmal,
also um "mein" Verfahren mal in Aktion zu zeigen:
die Vektoren als Zeilen in eine Matrix geschrieben:
[mm] $\pmat{1&2&0&1\\1&-2&0&0\\2&0&0&1\\2&4&0&2}$
[/mm]
das ergibt nach wenigen Zeilenumformungen die Zeilenstufenform:
[mm] $\pmat{1&2&0&1\\0&-4&0&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&0}$
[/mm]
jetzt wissen wir, dass [mm] $\{ \vektor{1\\2\\0\\1},\vektor{0\\-4\\0\\-1} \}$
[/mm]
ein Erzeugendensystem ist und weil wir keine Zeilenvertauschungen mit den ersten beiden Zeilen gemacht haben ist auch [mm] $\{ v_1 , v_2 \}$ [/mm] ein erzeugendensystem
(je nachdem was uns lieber ist)
jetzt sehen wir, dass an position [mm] a_{33} [/mm] und [mm] a_{44} [/mm] jeweils eine 0 steht also können wir mit dem dritten und vierten Einheitsvektor (als Zeilen) erweitern und erhalten so einen vollen Rang :
[mm] $\pmat{1&2&0&1\\0&-4&0&-1\\0&0&1&0\\0&0&0&1}$
[/mm]
damit birldet [mm] $\{ v_1 , v_2 , e_3 , e_4 \}$ [/mm] eine erweiterte Basis.
(das ergebnis von luis52 kann dennoch rictig sein, denn eine Basis ist ja nicht eindeutig bestimmt)
noch ein kleiner Hinweis:
wäre unsere Matrix in Zeilenstufenform sowas hier:
[mm] $\pmat{1&2&0&1\\0&0&-4&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&0}$
[/mm]
dann hätte man mit [mm] e_2 [/mm] erweitern müssen, nach umordnung sehe es dann so aus:
[mm] $\pmat{1&2&0&1\\0&1&0&0\\0&0&-4&-1\\0&0&0&0}$
[/mm]
und dann noch mit [mm] e_4 [/mm] zum vollen Rang
viele Grüße
DaMenge
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ich habe jetzt nur noch des kleine problem, dass ich noch nie was von dieser zeilenstufenform gehört habe, steht auch noch nicht in meinem skript.
wie macht man denn eine zeilenumformung??
eine andere möglichkeit darauf zu kommen gibt es nicht oder.
aber schonmal danke für die hilfe
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also ich hab mir des nochmal angeschaut.
ich weiß zwar immer noch net wie des mit der zeilenstufenform geht oder besser welche regeln man beachten muss.kenn sie ja noch net
aber ich hab mir überlegt:
erste zeile stehen lassen
zeite zeile mit (-1) erste zeile addieren
dritte zeile mit (-1) erste zeile addieren = 1 -2 0 0 und dies dann mit der ursprünglichen zweiten zeile multipliziert mit (-1) addieren = 0 0 0 0
vierte zeile mit (-2) erste zeile addieren
oder muss ich bei der vierten zeile zuerst die schritte der dritten anwenden
=> dann komm ich nicht drauf
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> also ich hab mir des nochmal angeschaut.
> ich weiß zwar immer noch net wie des mit der
> zeilenstufenform geht oder besser welche regeln man
> beachten muss.kenn sie ja noch net
> aber ich hab mir überlegt:
> erste zeile stehen lassen
> zeite zeile mit (-1) erste zeile addieren
> dritte zeile mit (-1) erste zeile addieren = 1 -2 0 0 und
> dies dann mit der ursprünglichen zweiten zeile
> multipliziert mit (-1) addieren = 0 0 0 0
>
> vierte zeile mit (-2) erste zeile addieren
Jaja, so geht das im Prinzip.
Nur - da Ihr das mit Zeilenstufenform usw. noch gar nicht hattet, denke ich, daß Du damit, falls es um eine Hausübung geht, nicht glücklich werden wirst.
Ich habe das Gefühl, daß es bei der Aufgabe weniger um Rechentechnik geht als um das Verständnis der Begriffe und die Zusammenhänge zwischen Basis, Erzeugendensystem, minimalem Erzeugendensystem.
Ich möchte daher noch einmal auf den Beitrag von luis52 hinweisen, welcher das "scharfe Hingucken" empfiehlt. Es sind sicher nicht ohne Bedacht extrem augenfreundliche Vektoren für die Aufgabe gewählt...
Wie bereits von luis52 ausgeführt, sieht man sofort, daß zwei der vier Vektoren verzichtbar sind, und es bleibt nur die lineare Unabhängigkeit der verbleibenden zwei zu "prüfen".
Gruß v. Angela
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