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| Aufgabe | Betrachte das System:
[mm] $\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & c \\ 0 & -c & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
[/mm]
Für welche der folgenden Werte der rellen Parameter $a,b,c$ gilt jeweils:
(a) Alle Lösungen konvergieren für [mm] $t\rightarrow \infty$ [/mm] gegen $0$.
(b) Alle Lösungen sind auf [mm] $[0,\infty[$ [/mm] beschränkt.
(c) Nur die triviale Lösung ist auf [mm] $[0,\infty[$ [/mm] beschränkt.
(d) Alle Lösungen sind auf [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] beschränkt.
(e) Nur die triviale Lösung ist auf [mm] \mathbb{R} [/mm] beschränkt |
Hi
als allgemeine Lösung des Systems habe ich:
$x(t) = [mm] \begin{pmatrix} c_1 e^{at} \\ c_2 e^{bt}sin(ct) + c_3 e^{bt}cos(ct) \\ c_2 e^{bt} cos(ct) - c_3 e^{bt}sin(ct)\end{pmatrix}$ [/mm] mit [mm] $c_1,c_2,c_3 \in \mathbb{R}$
[/mm]
(a) Wenn $c = 0$
dann ist die Lösung [mm] $\begin{pmatrix} c_1 e^{at} \\ c_3 e^{bt} \\ c_2 e^{bt}\end{pmatrix}$ [/mm] mit [mm] $c_1,c_2,c_3 \in \mathbb{R}$
[/mm]
Und diese konvergiert gegen $0$ wenn $a,b < 0$
(b) Ist hier nicht auch einfach $c = 0, a,b < 0$ richtig? Lösung geht wieder gegen 0 für $t [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] und für $t [mm] \rightarrow [/mm] 0$ geht sie gegen [mm] $\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}$. [/mm] Was auch die obere Schranke ist denn die Lösungen sind monoton fallend.
(c) Wenn $a,b > 0, c= 0$ denn dann gilt: $x(t) [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] für $t [mm] \rightarrow \infty$
[/mm]
(d) für $a = b = c = 0$ ist die allgemeine Lösung [mm] $\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}$, [/mm] also kontant, also beschränkt?
(e) wie (c) ? denn $x(t) [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] für $ [mm] t\rightarrow \infty$ [/mm] und $x(t) [mm] \rightarrow -\infty$ [/mm] für $ [mm] t\rightarrow -\infty$
[/mm]
Stimmt da irgendwas davon?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 16.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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