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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - lineares GLS
lineares GLS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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lineares GLS: lösbar?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 So 18.01.2009
Autor: namono

Aufgabe
Lösen Sie das lineare Gleichungssystem und geben Sie die Ränge an!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hier das GLS:
[mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 4
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 13
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] 4x_{2} +2x_{3} [/mm] = 26
[mm] 4x_{1} [/mm] + [mm] 5x_{2} [/mm] + [mm] 4x_{3} [/mm] = 43

Nach herstellen der Treppenform mit Gauß habe ich nun folgendes:

[mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & 4\\ 0 & 3 & 0 & 9\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0& 0} [/mm]

Das heißt für mich Rang A=2; Rang Ab=2 - soweit richtig?

Nur wenn ich nun rückwärts auflöse bekomme ich:
[mm] x_{2}=3 [/mm] und mehr nicht..

Wo liegt der fehler??
Schonmal Danke...

        
Bezug
lineares GLS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:01 So 18.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo namono,



> Lösen Sie das lineare Gleichungssystem und geben Sie die
> Ränge an!
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hier das GLS:
>  [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 4
>  [mm]x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 13
>  [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]4x_{2} +2x_{3}[/mm] = 26
>  [mm]4x_{1}[/mm] + [mm]5x_{2}[/mm] + [mm]4x_{3}[/mm] = 43
>  
> Nach herstellen der Treppenform mit Gauß habe ich nun
> folgendes:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & 4\\ 0 & 3 & 0 & 9\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0& 0}[/mm] [ok]

Multipliziere die 2. Zeile noch mit [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm]

Also [mm] $\pmat{ 1 & -1 & 1 & \mid&4\\ 0 & 1 & 0 & \mid &3\\0 & 0 & 0 & \mid & 0\\0 & 0 & 0& \mid & 0}$ [/mm]

>  
> Das heißt für mich Rang A=2; Rang Ab=2 - soweit richtig? [ok]

Also folgt Lösbarkeit des LGS

Aber keine eindeutige Lösbarkeit ;-)

Du hast mit 2 Gleichungen in 3 Unbekannten doch einen freien Parameter, setze [mm] $x_3=t$ [/mm] mit [mm] $t\in\IR$ [/mm]

Mit Zeile 2 hast du richtig erkannt [mm] $x_2=3$. [/mm]

Was ergibt sich nun mit Zeile 1 für [mm] $x_1$? [/mm]

Wie lautet dann die allg. Lösung?

>  
> Nur wenn ich nun rückwärts auflöse bekomme ich:
>  [mm]x_{2}=3[/mm] [ok] und mehr nicht..

Doch ;-)

>  
> Wo liegt der fehler??

du hast noch keinen gemacht ...

>  Schonmal Danke...

Jo

LG

schachuzipus
>  

Bezug
                
Bezug
lineares GLS: oha...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:47 So 18.01.2009
Autor: namono

Stimmt - da war ja noch was mit frei verfügbaren Parametern!

Also mit [mm] x_{3}=t: [/mm]

[mm] x_{1}=7-t [/mm]

na wunderbar...weiß nun warum ich die Parameter vergessen habe -
irgendwie ein unbefriedigendes Ergebnis! Aber es ist eins :-) !

Dank dir sehr!
Bezug
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