lineares Gleichungssystem < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:15 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Seien [mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 4 & 5 } \in K^{3 \times 3}, b=\vektor{1 \\ 6 \\ 8} \in K^{3 \times 1}.
[/mm]
Man bestimme mit Hilfe des Gauß-Algorithmus die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax=b im Fall von [mm] K=\IF_{p},p [/mm] prim. |
Hallo^^
Ich hab mal das Gleichungssystem ganz normal gelöst und hab es auf Stufenform gebracht,diese sieht so aus: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 5 },
[/mm]
somit hab ich [mm] x_{1}=1, 2*x_{2}=2, 5*x_{3}=5 [/mm] und die Lösungsmenge lautet [mm] x_{1}=x_{2}=x_{3}=1. [/mm] So,das ist jetzt ganz normal gelöst.
Ich verstehe aber nicht wie ich das für [mm] K=\IF_{p} [/mm] ,p prim lösen soll.
Was sagt mir dieses [mm] \IF_{p},p [/mm] prim und was muss hier anders rechnen als wenn ich es normal löse?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:34 Fr 12.11.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Seien [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 4 & 5 } \in K^{3 \times 3}, b=\vektor{1 \\ 6 \\ 8} \in K^{3 \times 1}.[/mm]
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> Man bestimme mit Hilfe des Gauß-Algorithmus die
> Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax=b im Fall
> von [mm]K=\IF_{p},p[/mm] prim.
> Hallo^^
>
> Ich hab mal das Gleichungssystem ganz normal gelöst und
> hab es auf Stufenform gebracht,diese sieht so aus: [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 5 },[/mm]
>
> somit hab ich [mm]x_{1}=1, 2*x_{2}=2, 5*x_{3}=5[/mm] und die
> Lösungsmenge lautet [mm]x_{1}=x_{2}=x_{3}=1.[/mm] So,das ist jetzt
> ganz normal gelöst.
>
> Ich verstehe aber nicht wie ich das für [mm]K=\IF_{p}[/mm] ,p prim
> lösen soll.
> Was sagt mir dieses [mm]\IF_{p},p[/mm] prim und was muss hier
> anders rechnen als wenn ich es normal löse?
Jetzt sollst du mod p rechnen, also mit den Restklassen. Da du bisher nur addiert, subtrahiert und multipliziert hast, ist die Umformung noch OK. Allerdings kommt es bei der Bestimmung der Unbekannten für gewisse Primzahlen zu Problemen. Ahnst du vielleicht, für welche p?
[mm] F_p [/mm] ist der Restklassenring mod p, der sich dann als Körper erweist, d. h. die Elemente [mm] \not= [/mm] 0 sind invertierbar.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:51 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Jetzt sollst du mod p rechnen, also mit den Restklassen. Da
> du bisher nur addiert, subtrahiert und multipliziert hast,
> ist die Umformung noch OK. Allerdings kommt es bei der
> Bestimmung der Unbekannten für gewisse Primzahlen zu
> Problemen. Ahnst du vielleicht, für welche p?
Ehrlich gesagt nicht.
Also ich hab doch jetzt dieses Gleichungssystem:
1. [mm] 1*x_{1}=1,
[/mm]
2. [mm] 2*x_{2}=2,
[/mm]
3. [mm] 5*x_{3}=5,
[/mm]
Dann bleibt doch [mm] x_{1}=1 [/mm] oder? Und [mm] x_{2}=\bruch{2}{2} [/mm] und [mm] x_{3}=\bruch{5}{5}. [/mm] Die 2 und 5 sind Primzahlen und die 1 nicht.
So, was hab ich jetzt davon, wie rechne ich das jetzt mit einer Restklasse?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Fr 12.11.2010 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> > Jetzt sollst du mod p rechnen, also mit den Restklassen. Da
> > du bisher nur addiert, subtrahiert und multipliziert hast,
> > ist die Umformung noch OK. Allerdings kommt es bei der
> > Bestimmung der Unbekannten für gewisse Primzahlen zu
> > Problemen. Ahnst du vielleicht, für welche p?
> Ehrlich gesagt nicht.
> Also ich hab doch jetzt dieses Gleichungssystem:
> 1. [mm]1*x_{1}=1,[/mm]
> 2. [mm]2*x_{2}=2,[/mm]
> 3. [mm]5*x_{3}=5,[/mm]
>
> Dann bleibt doch [mm]x_{1}=1[/mm] oder? Und [mm]x_{2}=\bruch{2}{2}[/mm] und
> [mm]x_{3}=\bruch{5}{5}.[/mm] Die 2 und 5 sind Primzahlen und die 1
> nicht.
> So, was hab ich jetzt davon, wie rechne ich das jetzt mit
> einer Restklasse?
Die Aufgabe kann so nicht gestellt worden sein, wenn dir noch nicht gesagt worden ist, was Restklassen sind und wie man damit rechnet. Ich schlage vor, daß du dich erstmal in der Beziehung schlau machst.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 So 14.11.2010 | | Autor: | void. |
Hallo,
sitze gerade vor der gleichen aufgabe .....
und hab eine frage dazu:
kann man mit Restklassen allgemein rechnen? :o hab das bisher immer nur für bestimmte Restklassen gemacht, was mich zu der Annahme führt das man hier evtl alle restklassen für p prim <= 7 durchspielen muss.
Wäre nett wenn mir jemand sagen könnte ob man das so löst, oder ob es wirklich einen allgemeinen weg gibt.
Gruß
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Hallo void.,
> sitze gerade vor der gleichen aufgabe .....
>
> und hab eine frage dazu:
>
> kann man mit Restklassen allgemein rechnen? :o
Die Frage ist mindestens unpräzise, wenn überhaupt verständlich.
Ja, man kann allgemein mit Restklassen rechnen. Allgemein kann man auch mit trigonometrischen Funktionen rechnen, Integralen, Vektoren und vielen anderen Objekten der Mathematik. Im Alltag wird aber oft mit Zahlen gerechnet, und mit denen kann man im allgemeinen nicht allgemein rechnen, vielleicht noch mit Ausnahme der Restklassen.
Ich bin sicher, das beantwortet irgendeine Frage, nur vielleicht nicht Deine.
> hab das
> bisher immer nur für bestimmte Restklassen gemacht, was
> mich zu der Annahme führt das man hier evtl alle
> restklassen für p prim <= 7 durchspielen muss.
Quatsch. Hatte statler nicht schon den Hinweis zur Invertierbarkeit gegeben? Für welche p ist denn welche der Gleichungen nicht invertierbar und warum? Anders gefragt: ist Division erlaubt, und wenn ja, wann?
> Wäre nett wenn mir jemand sagen könnte ob man das so
> löst, oder ob es wirklich einen allgemeinen weg gibt.
Das ist bisher der allgemeine Weg. Man muss nur noch zwei Spezialfälle betrachten.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 So 14.11.2010 | | Autor: | void. |
hallo,
irgendwie versteh ich das nicht....je mehr ich mir über das was wir zu Restklassen aufgeschrieben haben durchles umso verwirrter bin ich.
da [mm] F_p [/mm] alle Restklassen mod p einschließt und alle restklassen mod p körper sind und es bei primzahlen immer ein multiplikatives inverses gibt
versteh ich nicht was du meinst :/
wenn ich die Matrix mit mod 2, 3, 5, 7 durchrechne komme ich immer auf die gleichen lösungen.
edit: bei mod 2 ändert sich [mm] x_2 [/mm] = 1 zu [mm] x_2 [/mm] beliebig
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 So 14.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
zur 0 gibts keine multiplikative Restklasse
was bedeutet das für 2x=2 mod 2 etwa?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 So 14.11.2010 | | Autor: | void. |
> Hallo
> zur 0 gibts keine multiplikative Restklasse
> was bedeutet das für 2x=2 mod 2 etwa?
> Gruss leduart
>
>
Hallo,
ich versteh das mit der mult. Restklasse nicht?
ich dachte 2 x = 2 mod2
wird zu 0 x = 0 mod2
wenn ich jetzt beliebige werte in 2 x = 2 mod2 einsetze dann kommt egal was ich für x einsetz auf beiden seiten vom "=" eine "0" mod 2 raus ?!
was wieder zu 0 x = 0 mod2 passt da es in dieser gleichung keine Rolle spielt was für x eingesetzt wird
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 So 14.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast ja recht, aber damit hat das GS für p=2 keine eindeutige Lösung mehr. denn x2 kann jeden Wert in [mm] F_2 [/mm] anehmen !
jetz überleg weiter für welche p noch keine eindeutige lösung vorliegt.
(wo du also beim "normalen" rechnen durch 0 modp geteilt hast.)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 So 14.11.2010 | | Autor: | void. |
hallo,
danke, ich glaube jetz hab ich verstanden was gemeint war....
bei 2x=2 mod 2 [mm] \Rightarrow [/mm] 0x=0 mod2 kann ich das x theoretisch gar nicht freistellen weil es kein Inverses der Null gibt...
also ist es an der stelle gar nicht nach x freistellbar und somit eigtl nicht lösbar für x?!
aber wie schreibt man sowas? weil eigtl is die gleichung ja erfüllt.
Ausserdem hab ich für keine der anderen Resklassen dieses Problem gehabt, hab alle von mod 3 bis 7 aufgeschrieben.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 So 14.11.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo void.,
das klingt schon vernünftiger.
> danke, ich glaube jetz hab ich verstanden was gemeint
> war....
> bei 2x=2 mod 2 [mm]\Rightarrow[/mm] 0x=0 mod2 kann ich das x
> theoretisch gar nicht freistellen weil es kein Inverses der
> Null gibt...
So ist es.
> also ist es an der stelle gar nicht nach x freistellbar und
> somit eigtl nicht lösbar für x?!
Doch, jedes ganzzahlige x (und nur solche werden betrachtet) löst die Gleichung.
> aber wie schreibt man sowas? weil eigtl is die gleichung ja
> erfüllt.
>
> Ausserdem hab ich für keine der anderen Resklassen dieses
> Problem gehabt, hab alle von mod 3 bis 7 aufgeschrieben.
Ein Problem hättest Du allerdings noch bei p=5 haben sollen, siehe Mandys erster Post.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 So 14.11.2010 | | Autor: | void. |
omg ich hab die 5 vergessen -.-" ...ist ja auch ne primzahl...
danke...
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