lineares Ungleichungssystem < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Do 28.09.2006 | | Autor: | Kronos |
hi leute,
die aufabe hier ist mir einfach zu hoch:
| Aufgabe | Für eine Expedition soll eine Notverpflegung zusammen gestellt werden die mindestens 1050g Eiweiß, 3000g Kohlenhydrate, mehr als 30000 Kalorien und weniger als 500g Fett hat. Die ausgewählten Konserven enthalten:
Typ A: 210g Eiweiß, 40g Fett, 100g Kohlenhydrate, 1500 kal.
Typ B: 70g Eiweiß, 20g Fett, 750g Kohlenhydrate, 3600kal.
Eine Dose von Typ A kostet 6 von Typ B 9.
Wie lässt sich die benötigte Ration am billigsten zusammenstellen? |
ich find weder einen richtigen ansatz, noch bekomm ich eine ungleichung aufgestellt.
Bitte helft mir
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
http://www.mathepower.com/xsys/forum/topic/lineares_ungleichungssystem_mit_textaufagbe/1875.html
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:49 Do 28.09.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
klingt ja nicht besonders einfach. ok. wie packt man das problem am besten an?
ich könnte ungleichungen aufstellen der form:
1050 [mm] \ge [/mm] x (eiweiss)
3000 [mm] \ge [/mm] y (kohlenhydrate)
500 < z (fett)
30000 < k (kalorien)
ich habe aber auch zwei gleichungen, der konserven:
210g Eiweiß + 40g Fett + 100g Kohlenhd = 1500kal.
70g Eiweiß + 20g Fett + 750g Kohlenhd. = 3600kal.
wenn ich z.b. 20 Dosen "A" kaufe, dann hätte ich
4200g Eiweiß + 800g Fett + 2000g Kohlenhd = 30000kal.
mal abgesehen davon, dass diese 20 Konserven nicht die Bedingung mehr als 30000 kal erfüllen, ist der Fettanteil zu hoch.
wenn ich z.b. 9 Dosen "B" kaufe, hätte ich
630g Eiweiß + 180g Fett + 6750g Kohlenhd = 32400kal.
also zuwenig Eiweiß.
vielleicht kann man folgende gleichungen aufstellen
210a + 70b [mm] \ge [/mm] 1050
40a + 20b < 500
100a + 750b [mm] \ge [/mm] 3000
1500a + 3600b > 30000
scheint mir im moment der beste mathematische ansatz.
3a + b [mm] \ge [/mm] 15
2a + b < 25
2a + 15b [mm] \ge [/mm] 60
5a + 12b > 100
und jetzt??
gruss
wolfgang
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Hallo Kronos!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Kennst du dich mit linearer Programmierung aus bzw. hast du schon einmal etwas davon gehört?
Das wäre nämlich die einzige Möglichkeit, die mir zur Lösung deines Problemes kurzfristig einfällt.
Gruß,
Tommy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 Fr 29.09.2006 | | Autor: | Leon23 |
Hallo Kronos,
machen wir dort weiter, wo du aufgehört hast.
Zielfunktion: [mm] $6a+9b\to [/mm] min$
Nebenbedingungen (gekürzt):
(1) 3a + b [mm] $\ge$ [/mm] 15
(2) 2a + b [mm] $\le$ [/mm] 25
(3) 2a + 15b [mm] $\ge$ [/mm] 60
(4) 5a + 12b [mm] $\ge$ [/mm] 100
a,b [mm] $\ge$ [/mm] 0
So nun würde ich dir empfehlen die Aufgabe grafisch zu lösen.
Dazu betrachtest du einfach dein a als x-Koordinate und dein b als y-Koordinate in der Ebene. Nun gilt es alle mögliche Paare von a und b zu finden, welche die Nebenbedingung erfüllen. Dazu schraffierst du die Bereiche für jede Nebenbedingung. Nutze dazu einfach die Achsenabschnittsformel für eine Gerade. Aus (1) folgt z.b. a=5 mit b=0 und b=15 mit a=0, dann zeichnest du durch die Punkte (5,0) und (0,15) eine Gerade und schraffierst alles was drüber liegt mit einer Farbe. Das machst du mit (2) und den Punkten (12.5 , 0) und (0, 25) genauso, aber hier schraffierst du alles mit einer Farbe was drunter liegt, weil [mm] $\le$. [/mm] Genauso machst du das noch für (3) und (4), dort lauten die jeweiligen Punkte auf der Achse (30,0) und (0,4) bzw. (20,0) und (0, 8.33), dort wieder alles schraffieren was drüber liegt. Wenn du das hast, findest du eine Fläche die mit allen vier Farben schraffiert ist. Diese umramst du nochmal dick. In dieser Fläche liegen alle möglichen Punktepaare (a,b) die die Nebenbedingungen erfüllen. Nun müssen wir nur noch das Minimum bestimmen. Dazu nehmen wir die Zielfunktion vor und zeichnen auch wieder für diese eine Gerade ein. Dazu setzt du willkürlich 6a+9b=0 und stellst nach b um (das ist ja grad die y-Koordinate) und hast b=-2/3a, diese Gerade zeichnest du auch noch ein. Diese Gerade liegt nun unter unseren umrahmten Bereich. Jetzt verschiebst du die Gerade so lange parallel nach oben bis sie den Bereich gerade berührt. In dem Punkt wo sie ihn berührt liegt unser Minimum! Einfach die Koordinaten ablesen und noch aufrunden! Fertig. Du solltest nun das Ergebnis a=4 und b=7 raushaben 
Hier das Bild des zulässigen Bereiches und der parallelverschobenen Zielfunktion (rot gestrichelt).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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