lineares Vektorfeld < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:43 Di 16.06.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
| Aufgabe | | Mit einer Matrix M [mm] \in [/mm] Mat(3, [mm] \IR) [/mm] ist das lineare Vektorfeld v : [mm] \IR^3 \to \IR^3, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] v(x) = Mx, definiert. Dann existieren lineare Vektorfelder u, w: [mm] \IR^3 \to \IR^3 [/mm] mit rot(u) = 0 und div(w) = 0, sodass v die Form v = u + w hat |
Wenn div(w) = 0 ist, heißt das doch, dass alle partiellen Ableitungen von w 0 sein müssen, oder. Weiter komm ich aber nicht. Ich muss also v in zwei Abbildungen zerlegen, von der eine die Divergenz 0 hat und die andere die Rotation 0. Wie kann ich hier vorgehen. Danke
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Do 18.06.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
Ist die Aufgabe wirklich so schwer?
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Du kannst dir das recht leicht überlegen, wenn du die Aufgabe ein wenig ausführlicher aufschreibst:
[mm]\vec{v} = \vektor{v_1(x,y,z) \\ v_2(x,y,z) \\ v_3(x,y,z)}[/mm]
Weil das eine lineare Abbildung ist, kannst du die Komponenten nach den Variablen trennen, d.h.
[mm]\vektor{v_1(x,y,z) \\ v_2(x,y,z) \\ v_3(x,y,z)}=
\vektor{a_1(x) + b_1(y,z) \\ a_2(y) + b_2(x,z) \\ a_3(z) + b_3(x,y)}[/mm]
Wenn du jetzt mal die Divergenz und Rotation davon bildest, siehst du bestimmt schnell, wie du das in ein u und ein w aufteilen kannst, so dass die geforderten Bedingungen erfüllt sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Do 18.06.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
> Du kannst dir das recht leicht überlegen, wenn du die
> Aufgabe ein wenig ausführlicher aufschreibst:
> [mm]\vec{v} = \vektor{v_1(x,y,z) \\ v_2(x,y,z) \\ v_3(x,y,z)}[/mm]
>
> Weil das eine lineare Abbildung ist, kannst du die
> Komponenten nach den Variablen trennen, d.h.
> [mm]\vektor{v_1(x,y,z) \\ v_2(x,y,z) \\ v_3(x,y,z)}=
\vektor{a_1(x) + b_1(y,z) \\ a_2(y) + b_2(x,z) \\ a_3(z) + b_3(x,y)}[/mm]
>
> Wenn du jetzt mal die Divergenz und Rotation davon bildest,
> siehst du bestimmt schnell, wie du das in ein u und ein w
> aufteilen kannst, so dass die geforderten Bedingungen
> erfüllt sind.
Meinst du, dass ich eine Abbildung a suchen soll, sodass div(a) = 0 ist.
Aber div(a) ist doch konstant 3, oder.
Oder soll ich div und rot von der gesamten Abbildung bestimmen nur weiß ich nicht wie das gehen soll, weil ich doch gar keine Funktionsvorschriften habe die ich ableiten kann
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Meine Idee ist, dass du dir erstmal ein u und ein w festlegst und dann nachweist, dass div u=0 und rot w = 0 und v=u+w gilt.
Die Frage ist, wie du jetzt dieses u und w bekommst. Dazu kannst du dir diese Aufteilung anschauen (die geht, weil das eine lineare Abbildung ist):
$ [mm] \vektor{v_1(x,y,z) \\ v_2(x,y,z) \\ v_3(x,y,z)}= \vektor{a_1(x) + b_1(y,z) \\ a_2(y) + b_2(x,z) \\ a_3(z) + b_3(x,y)} [/mm] $
Wenn du jetzt davon die Divergenz berechnest, dann:
[mm]div(\vec{v}) = \bruch{\partial v_1}{\partial x} + \bruch{\partial v_2}{\partial y} + \bruch{\partial v_3}{\partial z}
= \bruch{\partial (a_1(x) + b_1(y,z))}{\partial x} + \bruch{\partial (a_2(y) + b_2(x,z))}{\partial y} + \bruch{\partial (a_3(z) + b_3(x,y))}{\partial z}
= \bruch{\partial a_1(x)}{\partial x} + \bruch{\partial a_2(y)}{\partial y} + \bruch{\partial a_3(z)}{\partial z} [/mm]
Denn die [mm] b_i [/mm] hängen immer nur von den beiden Variablen ab, die bei der Divergenz nicht gefragt sind.
Nenn den b-Vektor jetzt w und du hast den Teil, für den div w = 0 gilt.
Dann musst du nur noch nachrechnen, dass rot u = 0 ist, wenn du den a-Vektor als u definierst. Das ist aber auch sofort klar, wenn du dir die Definition von rot anschaust.
Ich wollte nicht direkt im ersten Posting u und w schreiben...
Es ist also:
$ [mm] \vektor{v_1(x,y,z) \\ v_2(x,y,z) \\ v_3(x,y,z)}= \underbrace{ \vektor{a_1(x) \\ a_2(y) \\ a_3(z)}}_{=\vec{u}} [/mm] + [mm] \underbrace {\vektor{ b_1(y,z) \\ b_2(x,z) \\ b_3(x,y)}}_{=\vec{w}}$
[/mm]
Und damit sind alle Forderungen erfüllt. Das interessante daran ist, wie man auf diese Aufteilung kommt - und das geht, indem du dir die Definitionen von div und rot anschaust.
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