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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Do 22.03.2007 | | Autor: | dom |
| Aufgabe | Aufgabe
Für jedes t , s element R sei ein lineares Gleichungssystem gegeben:
[mm] x-y-z=11\
[/mm]
[mm] 4x-2y+z=-1\
[/mm]
[mm] -x-3y+tz=79+s^2
[/mm]
a) Für welche [mm] t\in\IR\sub, s\in\IR\sub [/mm] ist das Gleichungssystem unlösbar?
b) Für welche [mm] t\in\IR\sub, s\in\IR\sub [/mm] besitzt das GLS genau eine Lösung?
c) Für welche [mm] t\in\IR\sub, s\in\IR\sub [/mm] hat das GLS unendlich viele Lösungen? Geben Sie alle Lösungen an. |
Tag , ich hab zwar Gauß angewendet und hab jetzt z = [mm] \bruch{s^2}{t+9} [/mm] herausbekommen. Nunn steh ich aber leider auf dem Schlauch.
Meine erste Frage wäre ob mein Ergebnis für z überhaupt stimmt.
Und Zweitens, wenn ja, wie mache ich dann mit den Unteraufgaben weiter.
Habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo dom,
bei solch langwierigen Rechnungen ist es immer besser, wenn du deinen Rechenweg mit postest, da kann man schneller drübergucken und evtl. Fehler finden.
Also poste mal 
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
ich vermute aus deiner Angabe von z, dass du die Matrix
[mm] \pmat{ 1 & -1 & -1 & | & 11\\4 & -2 & 1 & | & -1\\-1 & -3 & t & | & 79+s^2 } [/mm]
umgeformt hast zu
[mm] \pmat{ 1 & -1 & -1 & | & 11\\0 & 2 & 5 & | & -45\\0 & 0 & t+9 & | & s^2 } [/mm]
Nun die Lösbarkeit des LGS kannst du an der letzten Zeile festmachen:
Da steht ja: [mm] (t+9)\cdot{}z=s^2
[/mm]
Das musst du nun näher untersuchen: die Umformung, die du gemacht hast (durch (t+9) teilen) ist ja nur erlaubt für [mm] (t+9)\ne [/mm] 0, also für [mm] t\ne [/mm] -9
In diesem Falle [mm] (t\ne [/mm] -9) gibt es eine [mm] \bold{eindeutige} [/mm] Lösung für das LGS, beginnend mit [mm] z=\bruch{s^2}{t+9} [/mm] kannst du ja mal x und y noch berechnen.
Was ist aber im Falle t=-9?
Dann steht in der letzen Zeile [mm] 0\cdot{}z=s^2, [/mm] also [mm] 0=s^2
[/mm]
Wie siehts hier mit der Lösbarkeit (in Abhängigkeit von s) aus?
Hoffe, das bringt dich auf die richtige Spur
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Fr 23.03.2007 | | Autor: | dom |
Danke schön Schachuzipus,
Stand wohl voll auf dem Schlauch. Bin soweit eigentlich schon gewesen, wußte nur nicht wie ich weitermachen sollte.
Falls ich noch mehr Fragen habe und sobald ich die Ergebnisse habe, poste ich nochmal.
Thx>
Meine Lösung wäre jetzt:
Keine Lösung für: [mm] t\is=-9 [/mm] und [mm] s\ne [/mm] 0
Eindeutige (triviale) Lösung: [mm] t\is=-9 [/mm] und [mm] s\is=0
[/mm]
[mm] z\is=0
[/mm]
[mm] y=\bruch{-45}{2}
[/mm]
[mm] x=\bruch{-23}{2}
[/mm]
Unendlich viele Lösungen: [mm] t\ne-9 [/mm] und [mm] s\ne0
[/mm]
[mm] z=\bruch{s^2}{(t+9)}
[/mm]
[mm] y=-\bruch{5s^2}{2(t+9)}-\bruch{45}{2}
[/mm]
[mm] x=-\bruch{s^2}{2(t+9)}-\bruch{23}{2}
[/mm]
Müsste richtig sein, wäre aber nett wenn mir jemand sagen könnte ob es auch so ist.
Danke Dom
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> Danke schön Schachuzipus,
>
> Stand wohl voll auf dem Schlauch. Bin soweit eigentlich
> schon gewesen, wußte nur nicht wie ich weitermachen
> sollte.
> Falls ich noch mehr Fragen habe und sobald ich die
> Ergebnisse habe, poste ich nochmal.
>
> Thx>
>
> Meine Lösung wäre jetzt:
>
> Keine Lösung für: [mm]t\is=-9[/mm] und [mm]s\ne[/mm] 0 ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Eindeutige (triviale) Lösung: [mm]t\is=-9[/mm] und [mm]s\is=0[/mm]
> [mm]z\is=0[/mm]
> [mm]y=\bruch{-45}{2}[/mm]
> [mm]x=\bruch{-23}{2}[/mm]
>
> Unendlich viele Lösungen: [mm]t\ne-9[/mm] und [mm]s\ne0[/mm]
> [mm]z=\bruch{s^2}{(t+9)}[/mm]
>
> [mm]y=-\bruch{5s^2}{2(t+9)}-\bruch{45}{2}[/mm]
>
> [mm]x=-\bruch{s^2}{2(t+9)}-\bruch{23}{2}[/mm]
genau umgekehrt!!
> Müsste richtig sein, wäre aber nett wenn mir jemand sagen
> könnte ob es auch so ist.
>
> Danke Dom
Hallo Dom,
da haste einen Denkdreher drin:
Falls t=-9 und s=0, so wird die letzte Gleichung zu [mm] 0\cdot{}z=0 [/mm] und die ist für [mm] \bold{alle} [/mm] z wahr, also sind alle z Lösung dieser Gleichung.
Mit der zweiten Zeile der Matrix hast du also eine frei wählbare Variable, nehmen wir z:=m mit [mm] m\in \IR
[/mm]
Dann ist 2y+5m=-45 [mm] \Rightarrow y=-\bruch{45}{2}-\bruch{5}{2}m [/mm] und mit der ersten Zeile x-y-m=11 [mm] \Rightarrow x=-\bruch{23}{2}-\bruch{1}{2}m,
[/mm]
also sind die Lösungsvektoren des LGS derart [mm] \vektor{x \\ y\\ z}=\vektor{-\bruch{23}{2}-\bruch{1}{2}m \\ -\bruch{45}{2}-\bruch{5}{2}m \\ m}=\vektor{-\bruch{23}{2} \\-\bruch{45}{2}\\ 0}+m\cdot{}\vektor{-\bruch{1}{2}\\-\bruch{5}{2}\\1}=\vektor{-\bruch{23}{2} \\-\bruch{45}{2}\\ 0}+\tilde{m}\cdot{}\vektor{-1\\-5\\2} [/mm] mit [mm] m,\tilde{m}\in\IR
[/mm]
In diesem Falle gibt's also unendlich viele Lösungen
Im Falle t=-9 und [mm] s\ne [/mm] 0 ist die letzte Gleichung 0="irgendwas" [mm] \ne [/mm] 0
Und das ist für kein z wahr, also gibt es in diesem Falle [mm] \bold{keine} [/mm] Lösung
Im Falle [mm] t\ne [/mm] -9 und z beliebig gibt es eine eindeutige Lösung: [mm] z=\bruch{s^2}{t+9}, y=-45-\bruch{5}{2}\bruch{s^2}{t+9}, x=-34-\bruch{1}{2}\bruch{s^2}{t+9}
[/mm]
Also [mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{-34-\bruch{1}{2}\bruch{s^2}{t+9}\\-45-\bruch{5}{2}\bruch{s^2}{t+9}\\\bruch{s^2}{t+9}}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Fr 23.03.2007 | | Autor: | dom |
Habs geschnallt, hab gerade auch nochmal genauer im Buch nachgeschaut kein Thema, bei einer "Nullzeile", d.h. [mm] 0z\is=0 [/mm] ist [mm] z\is=\lambda. [/mm] Somit auch
[mm] y\is=\bruch{-45}{2}-\bruch{5t}{2} [/mm] usw.
Bei der eindeutigen Lösung, kann es sein dass du ausversehen anstatt [mm] \bruch{-45}{2} [/mm] und [mm] \bruch{-23}{2} [/mm] -45 und -34 geschrieben hast?
Aber danke auf jedenfall mal, hatte wirklich nur n Denkfehler drin.
Vor allem auch Danke für die schnelle Antwort
Gruß Dom
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![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
habe beim Abschreiben von meinem Schmierblatt nen Fehler eingebaut - wollte dich testen 