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Forum "Uni-Lineare Algebra" - linearform/dualer Raum
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linearform/dualer Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 Sa 19.11.2005
Autor: bobby

Hallo!

Ich weis bei der folgenden Aufgabe nicht so recht weiter...

Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und seien f,g [mm] \in V^{*} [/mm] Linearformen.Zeige: Gilt Ker f = Ker g , so gibt es ein c [mm] \in [/mm] K mit f = c * g .

Vielleicht kann mir da ja jemand von euch helfen...
        
Bezug
linearform/dualer Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:41 So 20.11.2005
Autor: Marc

Hallo bobby,

> Ich weis bei der folgenden Aufgabe nicht so recht
> weiter...
>  
> Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und seien f,g
> [mm]\in V^{*}[/mm] Linearformen.Zeige: Gilt Ker f = Ker g , so gibt
> es ein c [mm]\in[/mm] K mit f = c * g .

Für [mm] $\dim\operatorname{Ker} [/mm] f$ sind ja wegen des MBRangsatzes [mm] $\dim V=\dim\operatorname{Ker}f+\dim\operatorname{Bild} [/mm] f$ nur zwei Fälle möglich:

Fall 1: [mm] $\dim(\operatorname{Ker} f)=\dim(V)$ [/mm] oder
Fall 2: [mm] $\dim(\operatorname{Ker} f)=\dim(V)-1$ [/mm]

Fall 1 ist trivial (denn dann bilden f und g ja alles auf die 0 ab, und man kann c beliebig wählen).
Für Fall 2 würde ich eine Basis [mm] $\{v_1,\ldots,v_{n-1}\}$ [/mm] von [mm] $\operatorname{Ker} [/mm] f$ wählen und sie mit einem geeigneten [mm] $v_n\in [/mm] V$ zu einer Basis von $V$ ergänzen.

Ab jetzt müsste alles klar sein, oder soll ich noch einen Schritt verraten? ;-)

Viele Grüße,
Marc
Bezug
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