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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Do 09.09.2010 | | Autor: | giga1111 |
| Aufgabe | y´+5y=e^-3x
Spezielle Lösung: P(1/0) |
Hallo,
ich hab nächste Woche eine Prüfung, komm aber mit den Differentialgleichungen noch nicht ganz klar.
Bitte helft mir.
Schritte:
1. homogene DG gleich null setzen und lösen
2. partikuläre Lösung
3. allgemeine Lösung (setzt sich aus beiden Lösungen zusammen)
[mm] \bruch{dy}{dx}=-5y
[/mm]
[mm] -\bruch{dy}{5y}=dx
[/mm]
-ln|5y|=x+C
[mm] 5y=\pm e^x*e^C
[/mm]
homogene Lösung:
[mm] y=\bruch{C*e^x}{5}
[/mm]
partikuläre Lösung:
[mm] y=C{x}*\bruch{e^x}{5}
[/mm]
[mm] y'=C'{x}*\bruch{e^x}{5}+C{x}*\bruch{e^x}{5}
[/mm]
einsetzen in die inhomogene Gleichung (y´+5y=e^-3x):
[mm] C'{x}*\bruch{e^x}{5}+C{x}*\bruch{e^x}{5}+5*C {x}*\bruch{e^x}{5}
[/mm]
=e^-3x
Glaube nicht, dass das bis hier her stimmt.
Sollte es wider meinen Erwartungen doch stimmen, wie mache ich weiter???
Bin für jede Hilfe dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Sa 11.09.2010 | | Autor: | giga1111 |
Okay,
hab jetzt wieder Zeit und bin den Stoff nochmal durchgegangen.
also :
$ [mm] \ln(|y|)=-5x+c [/mm] $
$ [mm] y=e^{-5x+C}$
[/mm]
$ [mm] y{h}=e^{-5x}*C [/mm] $
jetzt partikuläre Dg:
$ [mm] y{p}=C{x}*e^{-5x} [/mm] $
[mm] y'{p}=C'{x}´*e^{-5x}+C{x}*e^{-5x}
[/mm]
einsetzen in die inhomogene DG:
[mm] C'{x}*e^{-5x}+C{x}*e^{-5x}+5*(C{x}*e^{-5x})=e^{-3x} [/mm]
Wie komme ich jetzt auf C' bzw. C?
Wenn ich C gefunden hab, kann ich in die partikuläre DG einsetzen und dann
$y=y{p}+y{h}$ bilden.
Wie komm ich aber auf C?
Gruß
Giga
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Hallo giga1111,
> Okay,
>
> hab jetzt wieder Zeit und bin den Stoff nochmal
> durchgegangen.
>
> also :
> [mm]\ln(|y|)=-5x+c[/mm]
>
> [mm]y=e^{-5x+C}[/mm]
>
> [mm]y{h}=e^{-5x}*C[/mm]
>
> jetzt partikuläre Dg:
>
> [mm]y{p}=C{x}*e^{-5x}[/mm]
>
> [mm]y'{p}=C'{x}´*e^{-5x}+C{x}*e^{-5x}[/mm]
>
> einsetzen in die inhomogene DG:
> [mm]C'{x}*e^{-5x}+C{x}*e^{-5x}+5*(C{x}*e^{-5x})=e^{-3x}[/mm]
Korrekt muss es lauten:
[mm]C'\left(x\right)*e^{-5x}+C\left(x\right)*\left(-5x\right)'*e^{-5x}+5*(C\left(x\right)*e^{-5x})=e^{-3x}[/mm]
Dann fallen auch die Ausdrücke mit [mm]C\left(x\right)[/mm] weg.
>
> Wie komme ich jetzt auf C' bzw. C?
>
> Wenn ich C gefunden hab, kann ich in die partikuläre DG
> einsetzen und dann
> [mm]y=y{p}+y{h}[/mm] bilden.
>
> Wie komm ich aber auf C?
>
> Gruß
> Giga
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 So 12.09.2010 | | Autor: | giga1111 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo giga1111,
> Okay,
>
> hab jetzt wieder Zeit und bin den Stoff nochmal
> durchgegangen.
>
> also :
> $ \ln(|y|)=-5x+c $
>
> $ y=e^{-5x+C} $
>
> $ y{h}=e^{-5x}\cdot{}C $
>
> jetzt partikuläre Dg:
>
> $ y{p}=C{x}\cdot{}e^{-5x} $
>
> $ y'{p}=C'{x}´\cdot{}e^{-5x}+C{x}\cdot{}e^{-5x} $
>
> einsetzen in die inhomogene DG:
> $ C'{x}\cdot{}e^{-5x}+C{x}\cdot{}e^{-5x}+5\cdot{}(C{x}\cdot{}e^{-5x})=e^{-3x} $
Korrekt muss es lauten:
$ C'\left(x\right)\cdot{}e^{-5x}+C\left(x\right)\cdot{}\left(-5x\right)'\cdot{}e^{-5x}+5\cdot{}(C\left(x\right)\cdot{}e^{-5x})=e^{-3x} $
Dann fallen auch die Ausdrücke mit $ C\left(x\right) $ weg.
>
> Wie komme ich jetzt auf C' bzw. C?
>
> Wenn ich C gefunden habe, kann ich in die partikuläre DG
> einsetzen und dann
> y=y{p}+y{h} bilden.
>
> Wie komm ich aber auf C?
>
> Gruß
> Giga
>
$ C'\left(x\right)\cdot{}e^{-5x}+C\left(x\right)\cdot{}\left(-5x\right)'\cdot{}e^{-5x}+5\cdot{}(C\left(x\right)\cdot{}e^{-5x})=e^{-3x} $
danke, mache noch ziemlich viele Fehler
so:
$ C'\left(x\right)\cdot{}e^{-5x}=e^{-3x} $
$ C\left(x\right)\cdot{}=e^{2x}/2+C $
y(p) lautet nun:
y(p)=e^{2x}/2*e^{-5x}
$ y=y(h)*y(p) $
$ y=e^{-5x}\cdot{}e^{2x}/2+C*e^{-5x} $
$y=\bruch{e^{-3x}}{2}+C*{e^{-3x} $
stimmt das jetzt?
(die Gleichungen sehen immer noch nicht aus, wie ich das gerne hätte.
Hoffe das ist kein Problem?)
Grüße
Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:32 So 12.09.2010 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
>$ y=e^{-5x}\cdot{}e^{2x}/2+C\cdot{}e^{-5x} $
die Zeile ist noch richtig, die naechst falsch,
>$ y=\bruch{e^{-3x}}{2}+C\cdot{}{e^{-3x} $
$ y=\bruch{e^{-3x}}{2}+C\cdot{}{e^{-5x} $
Du solltest dein Ergebnis immer in die Dgl. zur Probe einsetzen.
Jetzt noch die anfangsbed. einsetzen.
falls das nur ein Tipfehler war, lies deine Antworten mit Vorschau gruendlich nach.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:47 So 12.09.2010 | | Autor: | giga1111 |
Vielen Dank!!!!
War nur ein Tippfehler. Werde in Zukunft aber immer eine Probe machen.
Ihr habt mir sehr geholfen.
Super Forum, hätte mir nicht gedacht, dass das so gut klappt!!!
Gute Nacht allerseits
Giga
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Hallo nochmal auch von mir!
> Okay,
>
> hab jetzt wieder Zeit und bin den Stoff nochmal
> durchgegangen.
>
> also :
> [mm]\ln(|y|)=-5x+c[/mm]
>
> [mm]y=e^{-5x+C}[/mm]
>
> [mm]y{h}=e^{-5x}*C[/mm]
>
> jetzt partikuläre Dg:
>
> [mm]y{p}=C{x}*e^{-5x}[/mm]
>
> [mm]y'{p}=C'{x}´*e^{-5x}+C{x}*e^{-5x}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Setze runde Klammern [mm]C(x)[/mm]
Außerdem musst du doch [mm]e^{-5x}[/mm] mit der Kettenregel ableiten!!
Weiter siehe bei Mathepower
Gruß
schachuzipus
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
