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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - lipschitzstetigkeit
lipschitzstetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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lipschitzstetigkeit: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:37 Fr 17.04.2020
Autor: djanselo

Hi leuts!:)

Ich soll zwei lemmas beweisen:

Aufgabe
1. Wenn [mm] $\Omega \subseteq \IR^n$ [/mm] offen und konvex ist und [mm] $f:\Omega \to \IR$ [/mm] die Ungleichung [mm] $\| \nabla f(x)\|_{\IR^n} \le [/mm] M$ für alle $x [mm] \in \Omega$ [/mm]
efüllt, dann gilt
[mm] $|f(x)-f(y)|\le [/mm] M [mm] \|x-y\|_{\IR^n}$, [/mm] für alle $ y,x [mm] \in \Omega.$ [/mm]
2.
Seien $[a,b] [mm] \subseteq \IR$ [/mm] ein perfektes Intervall und [mm] $\Omega \subseteq \IR^n$. [/mm] Wenn $f [mm] \in C^{0,1^-}([a,b] \times \Omega,\IR^m)$ [/mm] und  $K [mm] \subseteq \Omega$ [/mm] ist kompakt, dann existiert eine offen Umgebung $W$ von $K$, so dass ist [mm] $f|_{ [a,b] \times W }$ [/mm] gleichmäßig Lipschitz stetig  bezüglich den Variablen aus $W$ ist.


Zu 1.
Vorab:
Da $ [mm] \Omega$ [/mm]  konvex und offen ist,können wir den mehrdimensionalen Mittelwertsatz benutzen
Beweis:
Seien $x,y [mm] \in \Omega$ [/mm] beliebig. Dann gibt es  nach dem 1.Mittelsatz ein $ c [mm] \in [/mm] (x,y) [mm] \subset \Omega$ [/mm]  mit $ f(x)-f(y) = [mm] \nabla [/mm] f'(c) (y-x)$ . Für die Norm gilt:
$ | f(x)-f(y)| = [mm] \| \nabla f'(c)\| \cdot \| (y-x)\|$ [/mm] .

Da alle partiellen ableitungen auf [mm] \IR^n [/mm] beschränkt sind gilt.

$ | f(x)-f(y)| = [mm] \| \nabla f'(c)\| \cdot \| (y-x)\| \le [/mm] M [mm] \cdot \| (y-x)\| [/mm] $ .

Damit folgt die Behauptung.

Kann man das so machen?
zu 2. hab ich leider keine Idee,habt ihr da nen Tipp für mich?:)

        
Bezug
lipschitzstetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:29 Fr 17.04.2020
Autor: fred97


> Hi leuts!:)
>  
> Ich soll zwei lemmas beweisen:

Der Plural von Lemma lautet Lemmata ....

>  
> 1. Wenn [mm]\Omega \subseteq \IR^n[/mm] offen und konvex ist und
> [mm]f:\Omega \to \IR[/mm] die Ungleichung [mm]\| \nabla f(x)\|_{\IR^n} \le M[/mm]
> für alle [mm]x \in \Omega[/mm]
>  efüllt, dann gilt
>  [mm]|f(x)-f(y)|\le M \|x-y\|_{\IR^n}[/mm], für alle [mm]y,x \in \Omega.[/mm]
>  
> 2.
>  Seien [mm][a,b] \subseteq \IR[/mm] ein perfektes Intervall und
> [mm]\Omega \subseteq \IR^n[/mm]. Wenn [mm]f \in C^{0,1^-}([a,b] \times \Omega,\IR^m)[/mm]

Was bedeutet  $ [mm] C^{0,1^-}$ [/mm]  ?

> und  [mm]K \subseteq \Omega[/mm] ist kompakt, dann existiert eine
> offen Umgebung [mm]W[/mm] von [mm]K[/mm], so dass ist [mm]f|_{ [a,b] \times W }[/mm]
> gleichmäßig Lipschitz stetig  bezüglich den Variablen
> aus [mm]W[/mm] ist.

Da ich im Moment sehr wenig Zeit habe, gebe ich Dir nur zu 1. eine Antwort

>  Zu 1.
>  Vorab:
>  Da [mm]\Omega[/mm]  konvex und offen ist,können wir den
> mehrdimensionalen Mittelwertsatz benutzen
>  Beweis:
>   Seien [mm]x,y \in \Omega[/mm] beliebig. Dann gibt es  nach dem
> 1.Mittelsatz ein [mm]c \in (x,y) \subset \Omega[/mm]  mit [mm]f(x)-f(y) = \nabla f'(c) (y-x)[/mm]


Richtig.

> . Für die Norm gilt:
>  [mm]| f(x)-f(y)| = \| \nabla f'(c)\| \cdot \| (y-x)\|[/mm] .

"=" wird im Allgemeinen falsch sein.

Richtig ist

[mm]| f(x)-f(y)| \le \| \nabla f'(c)\| \cdot \| (y-x)\|[/mm] .

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung !


>  
> Da alle partiellen ableitungen auf [mm]\IR^n[/mm] beschränkt sind
> gilt.
>  
> [mm]| f(x)-f(y)| = \| \nabla f'(c)\| \cdot \| (y-x)\| \le M \cdot \| (y-x)\|[/mm]
> .
>  

Wie oben

[mm]| f(x)-f(y)| \le \| \nabla f'(c)\| \cdot \| (y-x)\| \le M \cdot \| (y-x)\|[/mm]



> Damit folgt die Behauptung.
>  
> Kann man das so machen?
>  zu 2. hab ich leider keine Idee,habt ihr da nen Tipp für
> mich?:)


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