ln einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 So 11.07.2010 | | Autor: | wee |
| Aufgabe | Berechne die Matrix [mm] ln(E_2+A):=\summe_{k=1}^\infty\bruch{(-1)^{k-1}}{k}A^k [/mm] für [mm] A=\pmat{ 0 & \bruch{2}{3} \\ \bruch{-1}{3} & 1 }.
[/mm]
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Hallo,
bei der Aufgabe weiß ich noch nicht so recht wie ich sie lösen soll.
Meine erste Idee war die Matrix A zu diagonalisieren im Sinne der Eigenwerttheorie, also [mm] A=P^{-1}DP [/mm] mit [mm] D=\pmat{ \bruch{2}{3} & 0 \\ 0 & \bruch{1}{3} }, P=\pmat{ 1 & 2 \\ 1 & 1 } [/mm] und [mm] P^{-1}=\pmat{ -1 & 2 \\ 1 & -1 }.
[/mm]
Dann wäre [mm] ln(E_2+A)=\summe_{k=1}^\infty\bruch{(-1)^{k-1}}{k}P^{-1}D^kP.
[/mm]
Weil die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen von D <1 sind, konvergiert die Summe schonmal. Was da aber genau rauskommt, sehe ich noch nicht.
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 So 11.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
P und D stimmen schon mal.
Nun beachte, dass [mm] \summe_{k=1}^\infty\bruch{(-1)^{k-1}}{k}P^{-1}D^kP=P^{-1}*(\summe_{k=1}^\infty\bruch{(-1)^{k-1}}{k}D^k)*P [/mm] ist. Nun kannst du die Summe in der Mitte sicher noch etwas umformen, sodass du eine Matrix kriegst, die 2 Reihen als Hauptdiagonalenelemente hat.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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