lösbarkeit von Kongruenzen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe 2:
Beweisen oder Widerlegen Sie:
1. Für alle a,b [mm] \in [/mm] \ IZ, m [mm] \in [/mm] [(Existiert ein [mm] x\in \IZ: [/mm] a * x [mm] \equiv [/mm] b (mod m) [mm] \gdw [/mm] ggT (a, m) | b]
2. Formulieren Sie die Aussage aus 1. in einem umgangssprachlichen Satz
3. Geben Sie je eine lösbare bzw. unlösbare lineare Kongruenz an.
4. Bestimmen Sie alle m [mm] \in \IN [/mm] für die linare Kongruenz 10 * x [mm] \equiv [/mm] 35 (mod m) lösbar ist
5. Berechnen Sie - im Falle der Lösbarkein von 4., mit einem von Ihnen gewählten m - eine konrkete Lösung x0 [mm] \in \IZ [/mm] der linearen Kongruenz 10 * 5 [mm] \equiv [/mm] 35 (mod m). (Ein konkreter Rechenweg wurde bisher noch nicht explizit vorgestellt. Sie können die Kongruenz jedoch auf eine diophantische Gleichung zurückführen).
Hinweise:
Eine Kongruenz der Form a * x [mm] \equiv [/mm] b (mod m) mit m [mm] \in \IN [/mm] und a,b [mm] \in \IZ [/mm] heißt lineare Kongruenz in einer Unbestimmten x.
Eine lineare Kongruenz a * x [mm] \equiv [/mm] b (mod m) in einer Unbestimmten x heißt lösbar genau dann, wenn ein x0 [mm] \in \IZ [/mm] existiert, so dass a * xo [mm] \equiv [/mm] b (mod m).
Für alle a, q [mm] \in \IZ [/mm] , m [mm] \in \IN: [/mm] a + q * m [mm] \equiv [/mm] a (mod m). |
Hallo,
als allererstes wollte ich mich mal bei denjenigen bedanken, die mir letztes Semester schon geholfen haben...
hab die Prüfung in "Fachwissenschaftlichen Grundlagen" mit 3,3 bestanden und war damit vollkommen zufrieden (im Endeffekt braucht man nur noch 15 von 50 Punkten um überhaupt zu bestehen und es haben 48% bestanden - naja, typisch Mathe halt :P)
Also wie gesagt, ich wäre auch schon mit ner 4,0 zufrieden gewesen, hauptsache bestehen.
Nun habe ich noch "Algebra und elementare Zahlentheorie" und dann hab ich Mathe im Studium glücklicherweise hinter mir... manchmal fragt man sich schon, wozu man das alles als Förderschullehrer später mal brauchen soll, aber nun gut, lassen wir das
:) Ich bin euch auf jeden Fall super dankbar und hoffe, dass mir eure hilfreichen Tipps auch dieses Semester ermöglichen die Klausur einfach irgendwie zu bestehen. Vielen, vielen Dank!!!
Nun zu den von mir gestellten Aufgaben:
Ich möchte bitte, bitte, dass ihr keine konkreten Lösungen postet (aber das ist hier ja sowieso nicht erwünscht), möchte schon versuchen irgendwie auch einen Teil selbst auf die Reihe zu bekommen, aber mir fehlen häufig die ersten Ansätze -.- Achso und vielleicht helfen euch die Hinweise um mir auf die Sprünge zu helfen ohne gleich zu viel zu verraten?
Aber ich habe zumindest schon mal ein paar Lösungsvorschläge:
1. Zu 1 -.-: Mir fallen Beweise immer so sau schwer, hier brauch ich bestimmt wieder am meisten Hilfe... vielleicht könntet ihr mir hier erst mal erste Tipps für irgendwelche Ansätze geben? -.- Meistens versteh ich's ja schon irgendwie, aber ich lass mich immer so abschrecken, wenn da steht beweisen oder widerlegen Sie
2. Mein Lösungsvorschlag:
Für alle a, b Elemente aus den ganzen Zahlen und m Element aus den natürlichen Zahlen gilt:
Genau dann, wenn ein Element x aus den ganzen Zahlen existiert, für das gilt: a * x kongruent b (modulo m)), ist der größte gemeinsame Teiler von a und m ein Teiler von b.
Mh, vielleicht irgendwie so? Wobei ich nicht weiß wie ich das mit kongruent und modulo umgangssprachlich formulieren kann
3. Lösbare lineare Kongruenz:
10*x [mm] \equiv [/mm] 35 (mod 5)
Unlösbare lineare Kongruenz:
10*x [mm] \equiv [/mm] 35 (mod 4)
4. Lösungen von m = 1 und 5
5. Ähm versteh ich irgendwie nicht...
wenn ich jetzt z.B. für x= 1 einsetze und für m= 5 nehme...
dann hätte ich ja
10*1 - 35: -25 ähm und 5 ist ein Teiler von -25, da 5*x = -25; x= -5 gilt.
damit hab ich doch eine konkrete Lösung oder nicht? Was brauch ich denn da noch diophantische Gleichungen o.O
Mh, okay, könnt ja mal Stellung zu meinen Lösungsvorschlägen nehmen. Wäre euch super dankbar.
Lg Verena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 15.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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