lösen Dgl numerisch < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 So 11.04.2010 | | Autor: | quade521 |
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Hallo!
Die Vorschrift im oberen Bereich besagt ja, daß $y'=f(y)_$ ist.
Auf Folie 16 wird ja durch lineare approximation für [mm] x_1 [/mm] ein Wert [mm] y_1^\ast [/mm] ermittelt.
Für dieses [mm] y_1^\ast [/mm] ist die Steigung gegeben durch [mm] f(y_1^\ast) [/mm] . Und da ist noch gar keine Information über x drin, das heißt, die blaueGrade auf Folie 17 kann noch beliebig verschoben werden. Auf Folie 17 wurde sie in den Schnittpunkt [mm] y_1^\ast=y(x) [/mm] verschoben, wo sie ja tatsächlich Tangente ist. Das ist aber nur Kosmetik.
Auf folie 18 wird sie ja wieder verschoben, und zwar so, daß sie durch den Schnittpunkt der allerersten, roten Tangente und der senkrechten Graden [mm] x=x_0+h/2 [/mm] geht.
Denk dran, daß die grüne Kurve die Lösung deiner DGL ist, und die kennst du ja eigentlich (noch) gar nicht, deshalb machst du ja das numerische Verfahren. Soll heißen: Du solltest zur Übung mal die grüne Kurve aus den Folien ausradieren, und das Verfahren dann nochmal durchgehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 So 11.04.2010 | | Autor: | quade521 |
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Hallo!
> Hallo, danke, wie kann man sich denn [mm]y'=f(y)_[/mm]
> vorstellen, wenn y'=f(y) , dann ist dies ja nicht
> äquvalent mit y'=y aber der Ausdruck ergibt doch irgendwie
> keinen Sinn?
Naja, wie wäre es mit [mm] y'=2\sqrt{y} [/mm] ? Die Lösung hiervon wäre [mm] y=x^2 [/mm] ...
> und zweitens: die Tangente kann also beliebig im Bild
> verschoben werden, nur weshalb verschiebt man sie gerade
> auf die Position in Folie 18? Ich habe an anderer Stelle
> gelesen, dass man eigentlich mit dem Trapezverfahren und
> n=1 bei Heun integriert also die DGL auf beiden seiten und
> dann den Ausdruck hat der auf Folie 13 in der Mitte ist.
> Hat es etwas damit zu tun?
Ja, das ist korrekt. Denn von [mm] (x_0|y_0) [/mm] gehst du die erste Hälfte in x-Richtung die erste Grade entlang, die zweite Hälfte bis [mm] x_2 [/mm] gehst du entlang der zweiten Grade. Dazu brauchst du nur die Steigungen: [mm] y_1=y_0+\frac{h}{2}m_1+\frac{h}{2}m_2=y_0+\frac{h}{2}(m_1+m_2) [/mm] Und das ist die Formel von Folie 13.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 So 11.04.2010 | | Autor: | quade521 |
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Hallo!
hmmm, ich fürchte, ich sehe dein Problem nicht so ganz...
Letzendlich hast du hier eine Trapezsumme vor dir, in dem Bild siehst du direkt zwei Schritte, also zwei Trapeze. Allerdings integrierst du ja bei DGLs über die Ableitung, also die Änderung der Funktion. Deshalb addierst du hier nur die beiden Steigungsdreiecke in dem Bild.
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