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logarithmus Ableitung: log Ableitung zur Basis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 Mi 01.04.2015
Autor: defjam123

Hi!

Bekannt ist ja, dass die Ableitung der Funktion log(x)= 1/x
Mit Hilfe der Kettenregel kann ich diese Funktion ableiten.

Wie sieht aber dann die Ableitung aus wenn ich einen Parameter als Basis benutze?

Zum Beispiel bei der Funktion: [mm] f(x)=log_{a}(x^{3}) [/mm]

Hat jemand einen kleinen Vorschlag?


Lieben Gruß




        
Bezug
logarithmus Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 Mi 01.04.2015
Autor: abakus


> Hi!

>

> Bekannt ist ja, dass die Ableitung der Funktion log(x)=
> 1/x

Hallo,
das, was du hier mit "log(x)" titulierst, ist (das sehe ich zumindest an der von dir genannten Ableitung) der natürliche Logarithmus mit der anerkannten Schreibweise ln(x).
Zwischen Logarithmen mit zwei verschiedenen Basen a und b besteht folgende Umrechnungsvorschrift:
[mm]log_a(x)=\frac{ log_b(x) }{ log_b(a) }[/mm]
Wenn wir für b die Eulersche Zahl e verwenden, folgt entsprechend [mm]log_a(x)=\frac{ ln(x) }{ ln(a) }[/mm], was man noch etwas deutlicher als [mm]log_a(x)=\frac{ 1 }{ ln(a) }\cdot ln(x)[/mm] (mit [mm]\frac{ 1 }{ ln(a) }[/mm] als konstantem Faktor) schreiben kann.
Das sollte für dich ableitbar sein.
Dann ist auch die Ableitung von [mm]log_a(irgendwas)[/mm] mit Kettenregel machbar.
Gruß Abakus

> Mit Hilfe der Kettenregel kann ich diese Funktion
> ableiten.

>

> Wie sieht aber dann die Ableitung aus wenn ich einen
> Parameter als Basis benutze?

>

> Zum Beispiel bei der Funktion: [mm]f(x)=log_{a}(x^{3})[/mm]

>

> Hat jemand einen kleinen Vorschlag?

>
>

> Lieben Gruß

>
>
>

Bezug
        
Bezug
logarithmus Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:35 Mi 01.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Hi!
>  
> Bekannt ist ja, dass die Ableitung der Funktion log(x)=
> 1/x
>  Mit Hilfe der Kettenregel kann ich diese Funktion
> ableiten.
>  
> Wie sieht aber dann die Ableitung aus wenn ich einen
> Parameter als Basis benutze?

das, was Leduart sagt, ist sicher auch das, was den meisten direkt einfällt.
Weil es aber so schön ist, hier mal eine Alternative: Für

    [mm] $f(x)=\log_a(x)$ [/mm]

gilt

   [mm] $x=a^{\log_a(x)}$ $(=a^{f(x)})\,.$ [/mm]

Wir leiten beide Seiten nach [mm] $x\,$ [/mm] ab und es folgt mit der Kettenregel, wobei wir
[mm] $g(y):=a^y$ [/mm] setzen

    [mm] $1=g\,'(\,\underbrace{\log_a(x)}_{=f(x)}\,)*\underbrace{\frac{d}{dx}\log_a(x)}_{=f'(x)}\,,$ [/mm]

also

    [mm] $\frac{d}{dx}\log_a(x)=\frac{1}{g\,'(\log_a(x))}\,.$ [/mm]

Weil [mm] $g\,'(y)=\frac{d}{dy}a^y=a^y*\ln(a)$ [/mm] gilt (warum?), folgt

    [mm] $\frac{d}{dx}\log_a(x)=\frac{1}{\ln(a)*a^{\log_a(x)}}=\frac{1}{x*\ln(a)}\,.$ [/mm]

P.S. Hast Du 'ne Idee, welchen Beweis ich hier (etwas speziell) imitiert habe?
Falls nicht: Es gibt eine Regel zur Ableitung von Umkehrf....

> Zum Beispiel bei der Funktion: [mm]f(x)=log_{a}(x^{3})[/mm]
>  
> Hat jemand einen kleinen Vorschlag?

Das solltest Du nun mit der Kettenregel und [mm] $h(x)=x^3$, $f(x)=\log_a(x)$ [/mm] und

    [mm] $\log_a(x^3)=f(x^3)=f(\,h(x)\,)=(f \circ [/mm] h)(x)$

gelöst bekommen.

Gruß,
  Marcel

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