lokale Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | i) [mm] f:\R^2 \to \IR:= x_1^2+x_2^2-2x_1+4x_2+5
[/mm]
ii) [mm] g:(-\pi, \pi)^2\to \IR, g(x)=sinx_1sinx_2 [/mm] |
i) [mm] f:\R^2 \to \IR:= x_1^2+x_2^2-2x_1+4x_2+5
[/mm]
[mm] f_{x_1}=2x_1-2
[/mm]
[mm] f_{x_2}=2x_2-4
[/mm]
[mm] f_{x_1^2}=2
[/mm]
[mm] f_{x_2^2}=2
[/mm]
[mm] f_{xy}=f{yx}=0
[/mm]
Mögliche Extrema sind wenn man Null setzt: [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_2=2
[/mm]
(Hess [mm] f)(1,2)=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }
[/mm]
-> positiv definit und daher lok. Min. bei (1.2)
ii) [mm] g:(-\pi, \pi)^2\to \IR, g(x)=sinx_1sinx_2
[/mm]
[mm] f_{x_1}=cos(-\pi)*sin(\pi)=0
[/mm]
[mm] f_{x_2}=-sin(\pi)*sin(\pi)=0
[/mm]
[mm] f_{x_1^2}=sin(-\pi)*cos(\pi)=0
[/mm]
[mm] f_{x_2^2}=-sin(-\pi)*sin(\pi)=0
[/mm]
[mm] f_{xy}=cos(-\pi)*cos(pi)=1
[/mm]
[mm] f_{xy}=cos(-\pi)*cos(pi)=1
[/mm]
Kann ich dann hier gleich die Hesse Matrix aufstellen, da ich ja [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] nicht mehr berechnen kann?
(Hess [mm] f)(-\pi,\pi)= \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
positiv definit also Minimum.
Vielleicht könnt ihr mir sagen ob das so ok ist oder was verbessert werden muss.
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:27 So 20.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> i) [mm]f:\R^2 \to \IR:= x_1^2+x_2^2-2x_1+4x_2+5[/mm]
>
> ii) [mm]g:(-\pi, \pi)^2\to \IR, g(x)=sinx_1sinx_2[/mm]
> i) [mm]f:\R^2 \to \IR:= x_1^2+x_2^2-2x_1+4x_2+5[/mm]
>
> [mm]f_{x_1}=2x_1-2[/mm]
> [mm]f_{x_2}=2x_2-4[/mm]
> [mm]f_{x_1^2}=2[/mm]
> [mm]f_{x_2^2}=2[/mm]
> [mm]f_{xy}=f{yx}=0[/mm]
>
> Mögliche Extrema sind wenn man Null setzt: [mm]x_1=1[/mm] und
> [mm]x_2=2[/mm]
>
> (Hess [mm]f)(1,2)=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm]
>
> -> positiv definit und daher lok. Min. bei (1.2)
Das ist O.K.
>
>
> ii) [mm]g:(-\pi, \pi)^2\to \IR, g(x)=sinx_1sinx_2[/mm]
>
> [mm]f_{x_1}=cos(-\pi)*sin(\pi)=0[/mm]
> [mm]f_{x_2}=-sin(\pi)*sin(\pi)=0[/mm]
> [mm]f_{x_1^2}=sin(-\pi)*cos(\pi)=0[/mm]
> [mm]f_{x_2^2}=-sin(-\pi)*sin(\pi)=0[/mm]
> [mm]f_{xy}=cos(-\pi)*cos(pi)=1[/mm]
> [mm]f_{xy}=cos(-\pi)*cos(pi)=1[/mm]
>
Das ist doch Unsinn ! Es ist z.B.: [mm] f_{x_1}= cos(x_1)*sin(x_2)
[/mm]
Für welche Werte [mm] x_1,x_2 \in [/mm] (- [mm] \pi, \pi) [/mm] ist das =0 ?
FRED
> Kann ich dann hier gleich die Hesse Matrix aufstellen, da
> ich ja [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] nicht mehr berechnen kann?
>
> (Hess [mm]f)(-\pi,\pi)= \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
>
> positiv definit also Minimum.
>
>
> Vielleicht könnt ihr mir sagen ob das so ok ist oder was
> verbessert werden muss.
>
> MfG
> Mathegirl
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> Das ist doch Unsinn ! Es ist z.B.: [mm]f_{x_1}= cos(x_1)*sin(x_2)[/mm]
>
> Für welche Werte [mm]x_1,x_2 \in[/mm] (- [mm]\pi, \pi)[/mm] ist das =0 ?
Weiß ich nicht. ich dachte [mm] x_1=-\pi [/mm] und [mm] x_2=\pi [/mm] und da [mm] sin(\pi)=0 [/mm] gilt muss der ganze Ausdruck 0 sein.
oder kann ich [mm] \pi [/mm] gar nicht so einafch einsetzen? Wie amche ich das dann?
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:37 So 20.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Was sind die Nullstellen von Sinus bzw. Kosinus im Intervall (- [mm] \pi, \pi) [/mm] ?
FRED
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Achsoo...Nullstelle von sinus ist (0,0) und von Cosinus [mm] (0,5\pi [/mm] und -0,5 [mm] \pi)
[/mm]
Aber wo soll ich in die Ableitungen die Nullstelle einsetzen?
Ich darf also gar nicht [mm] \pi [/mm] und [mm] -\pi [/mm] für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] einsetzen? Sondern allgemein ableiten?
Weil mir ist grad nicht so ganz klar wo ich die Nullstelle für die Hesse Matrix einsetzen muss.
MfG
Mathegirl
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Hallo,
wir betrachten
>>> $ [mm] g:(-\pi, \pi)^2\to \IR, g(x)=sinx_1sinx_2 [/mm] $
Erstmal schreibe die ersten partiellen Ableitungen hin:
[mm] g_{x_1}(x)=cos(x_1)sin(x_2)
[/mm]
[mm] g_{x_2}(x)=sin(x_1)cos(x_2)
[/mm]
Als nächstes bestimme die [mm] (x_1, x_2)\in (-\pi, \pi)^2, [/mm] welche das Gleichungssystem
[mm] 0=cos(x_1)sin(x_2)
[/mm]
[mm] 0=sin(x_1)cos(x_2)
[/mm]
lösen.
Betrachte die erste Gleichung.
Es folgt [mm] x_1=0.5\pi [/mm] oder [mm] x_1=-0.5\pi [/mm] oder [mm] x_2=0.
[/mm]
Nun ermittele mit der zweiten Gleichung jeweils die zugehörige zweite Koordinate des kritischen Punktes.
Du bekommst die kritischen Punkte
[mm] P_1(0.5\pi|0.5\pi) P_2(0.5\pi|...)
[/mm]
[mm] P_3(...|...) P_4(...|...)
[/mm]
[mm] P_5(0|...).
[/mm]
Nun erst kommen die zweiten partiellen Ableitungen ins Spiel:
[mm] f_{x_1x_1}(x)=-sin(x_1)sin(x_2)
[/mm]
[mm] f_{x_1x_2}(x)=cos(x_1)cos(x_2)
[/mm]
[mm] f_{x_2x_1}(x)=cos(x_1)cos(x_2)
[/mm]
[mm] f_{x_2x_2}(x)=-sin(x_1)sin(x_2)
[/mm]
Jetzt nimmst Du Dir der Reihe nach die kritischen Punkte vor, setzt ein und betrachtest dann die Hessematrix:
[mm] [u]P_1(0.5\pi|0.5\pi)[/u]:
[/mm]
[mm] f_{x_1x_1}(0.5\pi,0.5\pi)=-sin(0.5\pi)sin(0.5\pi)= [/mm] -1
[mm] f_{x_1x_2}(0.5\pi,0.5\pi)=cos(0.5\pi)cos(0.5\pi)=0
[/mm]
[mm] f_{x_2x_1}(0.5\pi,0.5\pi)=cos(0.5\pi)cos(0.5\pi)=0
[/mm]
[mm] f_{x_2x_2}(0.5\pi,0.5\pi)=-sin(0.5\pi)sin(0.5\pi)=-1,
[/mm]
[mm] H_f(0.5\pi,0.5\pi)=\pmat{-1&0\\0&-1},
[/mm]
und nun kannst Du entscheiden, was es mit [mm] P_1 [/mm] auf sich hat.
Dann dasselbe Spielchen mit den anderen Punkten.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:43 So 20.05.2012 | | Autor: | Mathegirl |
Danke fürs erklären, jetzt ist mir das klar. ich habe [mm] -\pi [/mm] und [mm] \pi [/mm] nicht als Intervall betrachtet sondern als Punkte.
MfG
Mathegirl
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Ich komme nicht auf alle 5 kritischen Punkte:
[mm] P_1(0,5\pi [/mm] / [mm] 0,5\pi)
[/mm]
[mm] P_2(0,5\pi /\pi)
[/mm]
[mm] P_3(0,\pi)
[/mm]
[mm] P_4(-0,5\pi /0,5\pi)
[/mm]
[mm] P_5(0,5\pi [/mm] / [mm] -\pi)
[/mm]
Kann das sein?
MfG
Mathegirl
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> Ich komme nicht auf alle 5 kritischen Punkte:
>
>
> [mm]P_1(0,5\pi[/mm] / [mm]0,5\pi)[/mm]
>
> [mm]P_2(0,5\pi /\pi)[/mm]
>
> [mm]P_3(0,\pi)[/mm]
>
> [mm]P_4(-0,5\pi /0,5\pi)[/mm]
>
> [mm]P_5(0,5\pi[/mm] / [mm]-\pi)[/mm]
>
> Kann das sein?
Hallo,
meiner Erinnerung nach war der Def.bereich [mm] (\-pi,\pi)^2, [/mm] so daß keinesfalls [mm] \pm\pi [/mm] als Koordinate von kritischen Punkten infrage kommt.
Am besten postest Du Deine Rechnungen, also das zu lösende Gleichungssystem und in Einzelheiten, wie Du es gelöst hast.
Ich hab das nämlich nicht mehr im Kopf - und man kann ja auch nur wissen, wo Du ggf. Fehler machst, wenn man sieht, was Du tust.
LG Angela
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ok...es waren ja zwei Gleichungen...also die ersten partiellen Ableitunge
[mm] 0=cos(x_1)sin(x_2)
[/mm]
[mm] 0=sin(x_1)cos(x_2)
[/mm]
Ich bestimme die Nullstellen der ersten Gleichung
[mm] x_1=0,5\pi
[/mm]
[mm] x_1=-0,5\pi
[/mm]
[mm] x_2=0
[/mm]
Mit der 2. Gleichung die zugehörige Koordinate indem ich [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] einsetze.
Dann erhalte ich:
[mm] P_1(0,5\pi /0,5\pi)
[/mm]
[mm] P_2(-0,5\pi [/mm] / [mm] 0,5\pi)
[/mm]
[mm] P_3(0,5\pi [/mm] / [mm] -0,5\pi)
[/mm]
[mm] P_4(-0,5\pi [/mm] / [mm] -0,5\pi
[/mm]
[mm] P_5(0,0)
[/mm]
Kann das so stimmen?
Dann für jeden Punkt die Hessematrix und schauen ob es sich um ein Extremum handelt?
MfG
Mathegirl
Nur wie komme ich auf sie
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Hallo Mathegirl,
> ok...es waren ja zwei Gleichungen...also die ersten
> partiellen Ableitunge
>
> [mm]0=cos(x_1)sin(x_2)[/mm]
> [mm]0=sin(x_1)cos(x_2)[/mm]
>
> Ich bestimme die Nullstellen der ersten Gleichung
> [mm]x_1=0,5\pi[/mm]
> [mm]x_1=-0,5\pi[/mm]
> [mm]x_2=0[/mm]
>
> Mit der 2. Gleichung die zugehörige Koordinate indem ich
> [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] einsetze.
>
> Dann erhalte ich:
>
> [mm]P_1(0,5\pi /0,5\pi)[/mm]
> [mm]P_2(-0,5\pi[/mm] / [mm]0,5\pi)[/mm]
> [mm]P_3(0,5\pi[/mm] / [mm]-0,5\pi)[/mm]
> [mm]P_4(-0,5\pi[/mm] / [mm]-0,5\pi[/mm]
> [mm]P_5(0,0)[/mm]
>
> Kann das so stimmen?
Ja, das stimmt.
> Dann für jeden Punkt die Hessematrix und schauen ob es
> sich um ein Extremum handelt?
>
Richtig.
> MfG
> Mathegirl
>
> Nur wie komme ich auf sie
Betrachte dazu die Gleichung
[mm]0=cos(x_1)sin(x_2)[/mm]
Diese wird 0, wenn
i) [mm]\cos\left(x_{1}\right)=0[/mm] oder
ii) [mm]\sin\left(x_{2}\right)=0[/mm]
Nun betrachtest Du Fall i) und bestimmst
damit die Lösungen der zweiten Gleichung.
Das machst Du dann analog für den Fall ii).
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Mo 28.05.2012 | | Autor: | triad |
Hallo,
> Jetzt nimmst Du Dir der Reihe nach die kritischen Punkte
> vor, setzt ein und betrachtest dann die Hessematrix:
>
> [mm][u]P_1(0.5\pi|0.5\pi)[/u]:[/mm]
>
> [mm]f_{x_1x_1}(0.5\pi,0.5\pi)=-sin(0.5\pi)sin(0.5\pi)=[/mm] -1
> [mm]f_{x_1x_2}(0.5\pi,0.5\pi)=cos(0.5\pi)cos(0.5\pi)=0[/mm]
> [mm]f_{x_2x_1}(0.5\pi,0.5\pi)=cos(0.5\pi)cos(0.5\pi)=0[/mm]
> [mm]f_{x_2x_2}(0.5\pi,0.5\pi)=-sin(0.5\pi)sin(0.5\pi)=-1,[/mm]
>
> [mm]H_f(0.5\pi,0.5\pi)=\pmat{-1&0\\0&-1},[/mm]
>
> und nun kannst Du entscheiden, was es mit [mm]P_1[/mm] auf sich
> hat.
>
für den Punkt [mm] P_5(0|0) [/mm] ist ja die Hessematrix Hess [mm] g(0,0)=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }.
[/mm]
Ist diese nun positiv-/negativ-definit oder indefinit? Nach unserer Definition trifft keines von dreien zu:
1) A ist pos-def [mm] \gdw [/mm] alle Eigenwerte > 0 sind [mm] \gdw [/mm] alle Hauptminoren von A positiv sind
2) A ist neg-def [mm] \gdw [/mm] alle Eigenwerte < 0 sind [mm] \gdw [/mm] alle Hauptminoren von -A positiv sind, d.h. wenn alle ungeraden Hauptminoren von A negativ und alle geraden Hauptminoren positiv sind
3) A ist indef [mm] \gdw [/mm] A mind. einen positiven und einen negativen Eigenwert hat
Hauptminoren sind die Determinanten von den Untermatrizen, z.B. [mm] B=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }, [/mm] dann ist [mm] B_1 $1\times [/mm] 1$-Matrix (2) und [mm] B_2 $2\times [/mm] 2$-Matrix [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }, [/mm] also B selber. Bei B sind beide Determinanten/Hauptminoren (det [mm] B_1 [/mm] und det [mm] B_2) [/mm] positiv, also ist B pos-def.
Bei Hess g(0,0) ist also det(0)=0, [mm] det\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }=-1.
[/mm]
Die Frage ist also, ob die Null positiv oder negativ ist.
Oder muss ich die Matrix vorher noch umformen?
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> Hallo,
>
> > Jetzt nimmst Du Dir der Reihe nach die kritischen Punkte
> > vor, setzt ein und betrachtest dann die Hessematrix:
> >
> > [mm][u]P_1(0.5\pi|0.5\pi)[/u]:[/mm]
> >
> > [mm]f_{x_1x_1}(0.5\pi,0.5\pi)=-sin(0.5\pi)sin(0.5\pi)=[/mm] -1
> > [mm]f_{x_1x_2}(0.5\pi,0.5\pi)=cos(0.5\pi)cos(0.5\pi)=0[/mm]
> > [mm]f_{x_2x_1}(0.5\pi,0.5\pi)=cos(0.5\pi)cos(0.5\pi)=0[/mm]
> > [mm]f_{x_2x_2}(0.5\pi,0.5\pi)=-sin(0.5\pi)sin(0.5\pi)=-1,[/mm]
> >
> > [mm]H_f(0.5\pi,0.5\pi)=\pmat{-1&0\\
0&-1},[/mm]
> >
> > und nun kannst Du entscheiden, was es mit [mm]P_1[/mm] auf sich
> > hat.
> >
>
> für den Punkt [mm]P_5(0|0)[/mm] ist ja die Hessematrix Hess
> [mm]g(0,0)=\pmat{ 0 & 1 \\
1 & 0 }.[/mm]
> Ist diese nun
> positiv-/negativ-definit oder indefinit? Nach unserer
> Definition trifft keines von dreien zu:
>
> 1) A ist pos-def [mm]\gdw[/mm] alle Eigenwerte > 0 sind [mm]\gdw[/mm] alle
> Hauptminoren von A positiv sind
> 2) A ist neg-def [mm]\gdw[/mm] alle Eigenwerte < 0 sind [mm]\gdw[/mm] alle
> Hauptminoren von -A positiv sind, d.h. wenn alle ungeraden
> Hauptminoren von A negativ und alle geraden Hauptminoren
> positiv sind
> 3) A ist indef [mm]\gdw[/mm] A mind. einen positiven und einen
> negativen Eigenwert hat
Hallo,
welches charakteristische Polynom und welche Eigenwerte hast Du denn errechnet?
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Mo 28.05.2012 | | Autor: | triad |
> welches charakteristische Polynom und welche Eigenwerte
> hast Du denn errechnet?
>
> LG Angela
>
Achso! Aus deiner Antwort entnehme ich, dass man mit der Matrix doch noch etwas machen muss. Nämlich die Diagonalmatrix aus den Eigenwerten berechnen:
[mm] \chi_{Hess g(0,0)}(X)=det\pmat{ -X & 1 \\ 1 & -X }=X^2-1=(X-1)(X+1).
[/mm]
Die Eigenwerte [mm] \lambda_1=1, \lambda_2=-1, [/mm] die Diagonalmatrix [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] und diese ist indefinit.
In Ordnung? Danke!
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> Die Eigenwerte [mm]\lambda_1=1, \lambda_2=-1,[/mm]
Hallo,
genau.
> die
> Diagonalmatrix [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
0 & -1 }[/mm] und diese ist
> indefinit.
Ja, und vor allem ist [mm] \pmat{0&1\\1&0} [/mm] indefinit, was das eigentlich interessante ist.
LG Angela
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 10:00 So 20.05.2012 | | Autor: | abakus |
> > i) [mm]f:\R^2 \to \IR:= x_1^2+x_2^2-2x_1+4x_2+5[/mm]
> >
> > ii) [mm]g:(-\pi, \pi)^2\to \IR, g(x)=sinx_1sinx_2[/mm]
> > i)
> [mm]f:\R^2 \to \IR:= x_1^2+x_2^2-2x_1+4x_2+5[/mm]
> >
> > [mm]f_{x_1}=2x_1-2[/mm]
> > [mm]f_{x_2}=2x_2-4[/mm]
> > [mm]f_{x_1^2}=2[/mm]
> > [mm]f_{x_2^2}=2[/mm]
> > [mm]f_{xy}=f{yx}=0[/mm]
> >
> > Mögliche Extrema sind wenn man Null setzt: [mm]x_1=1[/mm] und
> > [mm]x_2=2[/mm]
> >
> > (Hess [mm]f)(1,2)=\pmat{ 2 & 0 \\
0 & 2 }[/mm]
> >
> > -> positiv definit und daher lok. Min. bei (1.2)
>
> Das ist O.K.
Bei einer der Zahlen ist ein Vorzeichenfehler drin.
> >
> >
> > ii) [mm]g:(-\pi, \pi)^2\to \IR, g(x)=sinx_1sinx_2[/mm]
> >
> > [mm]f_{x_1}=cos(-\pi)*sin(\pi)=0[/mm]
> > [mm]f_{x_2}=-sin(\pi)*sin(\pi)=0[/mm]
> > [mm]f_{x_1^2}=sin(-\pi)*cos(\pi)=0[/mm]
> > [mm]f_{x_2^2}=-sin(-\pi)*sin(\pi)=0[/mm]
> > [mm]f_{xy}=cos(-\pi)*cos(pi)=1[/mm]
> > [mm]f_{xy}=cos(-\pi)*cos(pi)=1[/mm]
> >
>
>
> Das ist doch Unsinn ! Es ist z.B.: [mm]f_{x_1}= cos(x_1)*sin(x_2)[/mm]
>
> Für welche Werte [mm]x_1,x_2 \in[/mm] (- [mm]\pi, \pi)[/mm] ist das =0 ?
>
> FRED
> > Kann ich dann hier gleich die Hesse Matrix aufstellen,
> da
> > ich ja [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] nicht mehr berechnen kann?
> >
> > (Hess [mm]f)(-\pi,\pi)= \pmat{ 0 & 1 \\
1 & 0 }[/mm]
> >
> > positiv definit also Minimum.
> >
> >
> > Vielleicht könnt ihr mir sagen ob das so ok ist oder was
> > verbessert werden muss.
> >
> > MfG
> > Mathegirl
>
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Wo ist hier ein Vorzeichenfehler?
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Wo ist hier ein Vorzeichenfehler?
>
Die partielle Ableitung nach [mm]x_{2}[/mm] muss doch lauten:
[mm]f_{x_{2}}=2x_{2}\blue{+}4[/mm]
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Mo 21.05.2012 | | Autor: | Mathegirl |
...aber die Ableitung von [mm] -4x_2 [/mm] ist doch -4 oder?
Sorry...habs gemerkt...ich habe das [mm] -4x_2 [/mm] in der Aufgabenstellung falsch! Danke für den Hinweis!
MfG
Mathegirl
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