lokale Extrema bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Bestimme die lokalen Extrema der Funktion f: [mm] IR^2-->IR,
[/mm]
[mm] f(x,y)=x^2+y^2-ln(1+2x^2+3y^2). [/mm] |
Hallo!
Ich habe grad [mm] f(x,y)=(2x-\bruch{4x}{1+2x^2+3y^2}, 2y-\bruch{6y}{1+2x^2+3y^2}.
[/mm]
Und Hess [mm] f(x,y)=\pmat{ 2-\bruch{12y^2-8x^2+4}{(1+2x^2+3y^2)^2} & \bruch{24xy}{(1+2x^2+3y^2)^2} \\ \bruch{24xy}{(1+2x^2+3y^2)^2} & 2-\bruch{12x^2-18y^2+6}{(1+2x^2+3y^2)^2}}
[/mm]
Wenn ich gradf(x,y)=0 setze , erhalte ich auf jeden Fall als eine Lösung (x,y)=(0,0), eingesetzt in die Hesse Matrix liefert dies ein isoliertes lokales Maximum.
Gibt es noch weitere kritische Punkte? Ich habe immer Probleme das GLS, das entsteht, wenn ich den grad =0 setze zu lösen. Gibt es da eine Strategie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Mi 30.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme die lokalen Extrema der Funktion f: [mm]IR^2-->IR,[/mm]
> [mm]f(x,y)=x^2+y^2-ln(1+2x^2+3y^2).[/mm]
> Hallo!
>
> Ich habe grad [mm]f(x,y)=(2x-\bruch{4x}{1+2x^2+3y^2}, 2y-\bruch{6y}{1+2x^2+3y^2}.[/mm]
>
> Und Hess [mm]f(x,y)=\pmat{ 2-\bruch{12y^2-8x^2+4}{(1+2x^2+3y^2)^2} & \bruch{24xy}{(1+2x^2+3y^2)^2} \\ \bruch{24xy}{(1+2x^2+3y^2)^2} & 2-\bruch{12x^2-18y^2+6}{(1+2x^2+3y^2)^2}}[/mm]
>
> Wenn ich gradf(x,y)=0 setze , erhalte ich auf jeden Fall
> als eine Lösung (x,y)=(0,0), eingesetzt in die Hesse
> Matrix liefert dies ein isoliertes lokales Maximum.
Das stimmt.
>
> Gibt es noch weitere kritische Punkte?
Ja, es gibt noch welche mit x [mm] \ne [/mm] 0 und y=0. Und welche mit x=0 und y [mm] \ne [/mm] 0.
> Ich habe immer
> Probleme das GLS, das entsteht, wenn ich den grad =0 setze
> zu lösen. Gibt es da eine Strategie?
Nein, eine Strategie gibts da nicht.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Dann erhalte ich noch 4 weitere kritische Punkte [mm] (\wurzel{1/2}, [/mm] 0), [mm] (-\wurzel{1/2}, [/mm] 0), (0, [mm] \wurzel{2/3}), [/mm] (0, [mm] -\wurzel{2/3}). [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Mi 30.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Dann erhalte ich noch 4 weitere kritische Punkte
> [mm](\wurzel{1/2},[/mm] 0), [mm](-\wurzel{1/2},[/mm] 0), (0, [mm]\wurzel{2/3}),[/mm]
> (0, [mm]-\wurzel{2/3}).[/mm]
Ja
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Bestimme die lokalen Extrema der Funktion f: [mm]IR^2-->IR,[/mm]
> [mm]f(x,y)=x^2+y^2-ln(1+2x^2+3y^2).[/mm]
> Hallo!
>
> Ich habe grad [mm]f(x,y)=(2x-\bruch{4x}{1+2x^2+3y^2}, 2y-\bruch{6y}{1+2x^2+3y^2}.[/mm]
>
> Und Hess [mm]f(x,y)=\pmat{ 2-\bruch{12y^2-8x^2+4}{(1+2x^2+3y^2)^2} & \bruch{24xy}{(1+2x^2+3y^2)^2} \\ \bruch{24xy}{(1+2x^2+3y^2)^2} & 2-\bruch{12x^2-18y^2+6}{(1+2x^2+3y^2)^2}}[/mm]
>
> Wenn ich gradf(x,y)=0 setze , erhalte ich auf jeden Fall
> als eine Lösung (x,y)=(0,0), eingesetzt in die Hesse
> Matrix liefert dies ein isoliertes lokales Maximum.
>
> Gibt es noch weitere kritische Punkte? Ich habe immer
Ja, es gibt noch vier weitere, wie auch fred97 schon angemerkt hat.
> Probleme das GLS, das entsteht, wenn ich den grad =0 setze
> zu lösen. Gibt es da eine Strategie?
Naja, konsequente Fallunterscheidung und damit keine möglichen Lösungen des Gleichungssystems unter den Tisch fallen lassen.
Wenn du mit [mm] $f_x(x,y)=0$ [/mm] beginnst, dann hast du ja sofort zwei Fälle, die du betrachten musst.
Fall 1: $x=0$
Fall [mm] 2:$2*x^2+3*y^2-1=0$
[/mm]
Fall 1: $x=0$ einsetzen in [mm] $f_y(0,y)=$ [/mm] liefert sofort wieder zwei Unterfälle, nämlich
Fall 1.1: $y=0$
Fall 1.2: [mm] $3*y^2-2=0$
[/mm]
und Fall 1.2 führt auf weitere zwei Fälle, und zwar
Fall 1.2.1: [mm] $y=+\frac{\wurzel{6}}{3}$
[/mm]
Fall 1.2.2: [mm] $y=-\frac{\wurzel{6}}{3}$
[/mm]
Und jetzt fehlt noch die Behandlung von
Fall 2: [mm] $2*x^2 +3*y^2-1=0\ \Rightarrow\ x^2=\frac{1-3y^2}{2}\ [/mm] \ [mm] (\*)$
[/mm]
einsetzen in [mm] $f_y(x,y)=0$ [/mm] führt diesmal direkt und ausschließlich auf $y=0$.
Einsetzen in [mm] $(\*)$ [/mm] führt auf zwei weitere kritische Punkte, bei dennen sich später heraustellen wird, dass sie keine lokalen Extrema sind.
Du siehst, die "Strategie" ist konsequentes Anwenden einfacher Termumformungen und Beachten aller Möglichkeiten ("Produkt-Null-Satz").
Gruß RMix
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