lokale Extrema f(u,v) R²->R < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Fr 02.07.2004 | | Autor: | danimax |
Hallo Leute, ich habe folgendes Problem:
(Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt. )
geg.: f(u,v)=u³+3uv²-3u²-3v²-4
Ich soll alle lok. Extrema bestimmen.
Vorgegangen bin ich bisher wie folgt.
->partielle Abl. bilden also D1f()=3u²+3v²-6u ; D2f()= 3u2v-6v
Dann die beiden jeweils Nullsetzen, Mögliche Punkte für Extrema bestimmen, Hessematrix mit den 2.part Ableitungen bestimmen und die Möglichen Punkte in die Matrix einsetzen. (Dann pos. definit ->min ; neg definit->max ; indefinit -> sattelpkt.)
Ich habe beim Nullsetzen von den beiden Ausdrücken schon Probleme:
3u²+3v²-6u -> u²-2u+v²=0
und
3u2v-6v -> 2vu-2v=0
Also ich krieg das nicht so ganz hin, habs schon auf verschiedenste weisen versucht, kriege dann für u, = 1+-wurzel(1-v²) und für v, = 0 raus.
Also mögliche Pkte für Extrema sind dann (1 - Wurzel (1-v²) , 0 ) und (1 + Wurzel (1-v²) , 0)
Wenn ich jetzt die 2. part. Abl. für die H-Matrix mache kommt
( 6u-6 0 )
( 0 6v-6 )
raus. Wenn ich bisher richtig war, müsste ich die obigen Werte für u einsetzen, aber diese werte sind ja noch abhänig von v, wie soll ich also herausbekommen ob die 'Diagonale' der H-matrix positiv oder negativ ist? abschätzen?
also für den 1.Kandidaten :
6*[1-Wurzel(1-v²)]-6 = ??? // kann ich hier von dem wert 0 für v (1.part. abl.=0) ausgehen?
und
6*[0]-6 = -6 ???
Ich wäre verdammt froh wenn jemand drüber schauen könnte und hoffentlich einen Fehler entdeckt, denn ich komm absolut nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Fr 02.07.2004 | | Autor: | Sunny75 |
Hi danimax,
ich habe mich mal an die aufgabe begeben. So wie ich das sehe hast du dich etwas "verrechnet".
>
> geg.: f(u,v)=u³+3uv²-3u²-3v²-4
>
> Ich soll alle lok. Extrema bestimmen.
>
> Vorgegangen bin ich bisher wie folgt.
>
> ->partielle Abl. bilden also D1f()=3u²+3v²-6u ; D2f()=
> 3u2v-6v
soweit o.k.
>
> Dann die beiden jeweils Nullsetzen, Mögliche Punkte für
> Extrema bestimmen, Hessematrix mit den 2.part Ableitungen
> bestimmen und die Möglichen Punkte in die Matrix einsetzen.
> (Dann pos. definit ->min ; neg definit->max ; indefinit ->
> sattelpkt.)
>
> Ich habe beim Nullsetzen von den beiden Ausdrücken schon
> Probleme:
>
> 3u²+3v²-6u -> u²-2u+v²=0
>
> und
>
> 3u2v-6v -> 2vu-2v=0
-> u-1=0 -> u=1
in die obige Gleichung eingesetzt folgt:
1-2+v²=0 -> v²=1 -> v=1 oder v=-1
> Wenn ich jetzt die 2. part. Abl. für die H-Matrix mache
> kommt
für die 2.part. Ableitungen bekomme ich flgendes heraus:
[mm] f_{uu}=6u-6 [/mm] und [mm] f_{vv}=6u-6 [/mm] sowie
[mm] f_{uv}=f_{vu}=6v
[/mm]
Ich hoffe das hilft.
Gruß Silke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Fr 02.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo danimax und Sunny75
ich glaube, da ist noch etwas übersehen worden:
> > Probleme:
> >
> > 3u²+3v²-6u -> u²-2u+v²=0
> >
> > und
> >
> > 3u2v-6v -> 2vu-2v=0
.. nämlich hier:
Die Gleichung lautet ja
$2vu-2v=0$
$vu-v=0$
$v*(u-1)=0$
Da habt ihr einfach durch $v$ dividiert. Was aber, wenn $v$ den Wert $0$ hat? Dann darf man nicht dividieren.
Besser wäre es, das folgendermassen zu schliessen: Ein Produkt ist $0$, wenn mindestens ein Faktor den Wert $0$ hat.
Somit ergibt die obige Gleichung 2 Lösungen: $v=0$ oder $u=1$
Für $u=1$ habt ihr ja schon die Kandidaten
$(u,v) = (1,1)$ und
$(u,v) = (1,-1)$
eruiert.
Für $v=0$ gibt es aber nochmals 2 Kandidaten:
$(u,v) = (0,0)$ und
$(u,v) = (2,0)$
(Falls ich mich nicht verrechnet habe! 
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:18 Fr 02.07.2004 | | Autor: | Sunny75 |
Oh oh ... da hast du völlig recht ...
Sorry! Wie gut das es aufmerksame Menschen gibt.
Danke.
Gruß
Silke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 Sa 03.07.2004 | | Autor: | danimax |
1000 Dank!
Grauenhaft, dass ich vor lauter Dimensionen die Grundrechenarten vergessen habe...
Eure antworten kamen sehr schnell, danke danke!
(hatte gestern nacht die antwort schon gesehen, wollte aber bis jetzt warten, dass ich das ganze auch wirklich verstanden habe...)
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