lokale Extrema f(x,y) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Di 22.07.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die lokalen Extrema folgender Funktion:
[mm] f(x,y)=x^3+3xy^2-15x-12y [/mm] |
Hi,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Es geht um das bestimmen der lokalen Extreme, wozu ich ja an der Hesse-Matrix ablesen muss ob sie positiv oder negativ Definit ist.
Dies mache ich mit dem Hurwitz-Kriterium, leider bin ich mir nicht ganz sicher, da Wolframalpha ein anderes Ergebnis erhält und ich nicht weiß wo mein Fehler steckt.
Mein Gradient lautet:
[mm] $\operatorname{grad}\, f(x,y)=\begin{pmatrix}3x^2+3y^2-15\\6xy-12\end{pmatrix}$
[/mm]
Setze ich diesen Null und löse das entstehende Gleichungssystem, so komme ich auf die kritischen Punkte:
[mm] $P_1(1,2)$
[/mm]
[mm] $P_2(2,1)$
[/mm]
[mm] $P_3(-2,-1)$
[/mm]
[mm] $P_4(-1,-2)$
[/mm]
Nun möchte ich prüfen welches davon lokales Minimum oder Maximum ist.
Meine Hesse-Matrix sieht so aus:
[mm] $\operatorname{Hess}\,f(x,y)=\begin{pmatrix}6x&6y\\6y&6x\end{pmatrix}$
[/mm]
Bestimme ich nun
[mm] $\operatorname{Hess}\,f(1,2)=\begin{pmatrix}6&12\\12&6\end{pmatrix}
[/mm]
So ist dies nach dem Hurwitz-Kriterium indefinit, da ich eine positive Determinante und eine negative erhalte.
[mm] $\operatorname{Hess}\,f(2,1)=\begin{pmatrix}12&6\\6&12\end{pmatrix}
[/mm]
Ist positiv Definit, da beide Determinanten nach dem Hurwitz-Kriterium positiv sind.
[mm] $\operatorname{Hess}\,f(-2,-1)=\begin{pmatrix}-12&-6\\-6&-12\end{pmatrix}
[/mm]
Ist nach dem Hurwitz-Kriterium wieder indefinit und zu letzt ist
[mm] $\operatorname{Hess}\,f(-1,-2)=\begin{pmatrix}-6&-12\\-12&-6\end{pmatrix}
[/mm]
negativ Definit. Hier muss ich ja, wenn ich prüfen möchte ob dies negativ definit ist die Matrix mit (-1) multiplizieren und dann gucken ob dies positiv Definit ist, richtig?
Nach meiner Rechnung wäre also
[mm] $P_4(-1,-2)$ [/mm] das Maximum und [mm] $P_2(2,1)$ [/mm] das Minimum.
Wolframalpha sagt jedoch, dass das Maximum bei [mm] $P_3$ [/mm] und das Minimum bei [mm] $P_1$ [/mm] angenommen wird, also genau das Gegenteil von dem was ich heraus habe.
Wo liegt hier mein Denk/Rechenfehler?
Vielen Dank.
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Hallo YuSul,
> Bestimmen Sie die lokalen Extrema folgender Funktion:
>
> [mm]f(x,y)=x^3+3xy^2-15x-12y[/mm]
>
> Hi,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
> Es geht um das bestimmen der lokalen Extreme, wozu ich ja
> an der Hesse-Matrix ablesen muss ob sie positiv oder
> negativ Definit ist.
> Dies mache ich mit dem Hurwitz-Kriterium, leider bin ich
> mir nicht ganz sicher, da Wolframalpha ein anderes Ergebnis
> erhält und ich nicht weiß wo mein Fehler steckt.
>
> Mein Gradient lautet:
>
> [mm]\operatorname{grad}\, f(x,y)=\begin{pmatrix}3x^2+3y^2-15\\6xy-12\end{pmatrix}[/mm]
>
> Setze ich diesen Null und löse das entstehende
> Gleichungssystem, so komme ich auf die kritischen Punkte:
>
> [mm]P_1(1,2)[/mm]
> [mm]P_2(2,1)[/mm]
> [mm]P_3(-2,-1)[/mm]
> [mm]P_4(-1,-2)[/mm]
>
> Nun möchte ich prüfen welches davon lokales Minimum oder
> Maximum ist.
> Meine Hesse-Matrix sieht so aus:
>
> [mm]\operatorname{Hess}\,f(x,y)=\begin{pmatrix}6x&6y\\6y&6x\end{pmatrix}[/mm]
>
> Bestimme ich nun
>
> [mm]$\operatorname{Hess}\,f(1,2)=\begin{pmatrix}6&12\\12&6\end{pmatrix}[/mm]
>
> So ist dies nach dem Hurwitz-Kriterium indefinit, da ich
> eine positive Determinante und eine negative erhalte.
>
> [mm]$\operatorname{Hess}\,f(2,1)=\begin{pmatrix}12&6\\6&12\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Ist positiv Definit, da beide Determinanten nach dem
> Hurwitz-Kriterium positiv sind.
>
> [mm]$\operatorname{Hess}\,f(-2,-1)=\begin{pmatrix}-12&-6\\-6&-12\end{pmatrix}[/mm]
>
> Ist nach dem Hurwitz-Kriterium wieder indefinit und zu
> letzt ist
>
> [mm]$\operatorname{Hess}\,f(-1,-2)=\begin{pmatrix}-6&-12\\-12&-6\end{pmatrix}[/mm]
>
> negativ Definit. Hier muss ich ja, wenn ich prüfen möchte
> ob dies negativ definit ist die Matrix mit (-1)
> multiplizieren und dann gucken ob dies positiv Definit ist,
> richtig?
>
> Nach meiner Rechnung wäre also
>
> [mm]P_4(-1,-2)[/mm] das Maximum und [mm]P_2(2,1)[/mm] das Minimum.
>
> Wolframalpha sagt jedoch, dass das Maximum bei [mm]P_3[/mm] und das
> Minimum bei [mm]P_1[/mm] angenommen wird, also genau das Gegenteil
> von dem was ich heraus habe.
>
> Wo liegt hier mein Denk/Rechenfehler?
>
Einen Extremwert liegt vor, wenn die Determinante an
der infrage kommenden Stelle > 0 ist.
Der erste Hauptminor entscheidet dann über Minimum oder Maximum.
> Vielen Dank.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Di 22.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich finde es gerade lustig, dass du über eine halbe Stunde die Frage reserviert hattest und die Antwort ein Einzeiler ist. :)
Wo genau nun mein Fehler liegt ist mir dennoch nicht klar. Ich habe doch genau das gemacht.
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Hallo YuSul,
> Ich finde es gerade lustig, dass du über eine halbe Stunde
> die Frage reserviert hattest und die Antwort ein Einzeiler
> ist. :)
>
> Wo genau nun mein Fehler liegt ist mir dennoch nicht klar.
> Ich habe doch genau das gemacht.
>
[mm]\operatorname{Hess}\,f(1,2)=\begin{pmatrix}6&12\\12&6\end{pmatrix}[/mm] ist ok.
[mm]\operatorname{Hess}\,f(2,1)=\begin{pmatrix}12&6\\6&12\end{pmatrix} [/mm] ist auch ok.
[mm]\operatorname{Hess}\,f(-2,-1)=\begin{pmatrix}-12&-6\\-6&-12\end{pmatrix}[/mm] ist nicht ok.
Die Determinante ist hier > 0, der erste Hauptminor jedoch < 0,
Demnach liegt hier ein Maximum vor.
[mm]\operatorname{Hess}\,f(-1,-2)=\begin{pmatrix}-6&-12\\-12&-6\end{pmatrix}[/mm] ist auch ok.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Di 22.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay, aber dann hätte ich ja für (2,1) ein Minimum und für (-2,-1) sowie (-1,-2)
ein Maximum.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Di 22.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Die Determinante der Hesse-Matrix ist doch
[mm] $36*\left({x^2-y^2}\right))$,
[/mm]
d.h. es liegen nur Extremwerte für $|x|>|y|$ vor, damit scheiden deine [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_4 [/mm] aus.
Zur Bestimmung ob Minimum oder Maximum wird nun das Vorzeichen des Terms $6*x$ herangezogen.
Demnach ist [mm] $P_2(2/1)$ [/mm] ein rel. Minumum und [mm] $P_3(-2/-1)$ [/mm] ein rel. Maximum.
Der nächste Schritt wäre nun die Untersuchung des Randes um festzustellen, ob es auch globale Extrema sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Di 22.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay, mir war zuvor gar nicht so sehr bewusst, dass nur ein Eintrag die Frage "Minimum oder Maximum?" so sehr beeinflussen kann.
Die Aufgabenstellung fragt nur nach lokalen Extrema, da muss ich dann doch keine globalen suchen, oder?
Aber wie würden die Ränder hier aussehen, ich habe ja keine bestimmte Einschränkung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Di 22.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Okay, mir war zuvor gar nicht so sehr bewusst, dass nur ein
> Eintrag die Frage "Minimum oder Maximum?" so sehr
> beeinflussen kann.
Bei einer 2x2 Matrix ist der erste Hauptminor ja nur eine 1x1 Matrix.
Wird ja speziell in der Schulmathematik bei einer Funktion in zwei Veränderlichen $f(x,y)$ so gemacht, dass zuerst geprüft wird, ob die Determinante der Hesse-Matrix [mm] $f_{xx}*f_{yy}-f_{xy}^2>0$ [/mm] ist und dann das Vorzeichen [mm] von$f_{xx}$ [/mm] oder auch jenes von [mm] $f_{yy}$ [/mm] zur Unterscheidung zwischen rel. Maxima oder Minima herangezogen wird.
Der Begriff "Definitheit" einer Matrix fällt da, denke ich, eher selten.
> Die Aufgabenstellung fragt nur nach lokalen Extrema, da
> muss ich dann doch keine globalen suchen, oder?
> Aber wie würden die Ränder hier aussehen, ich habe ja
> keine bestimmte Einschränkung.
Nun, mangels konkreter endlicher Grenzen können hier Grenzwertüberlegungen angestellt werden.
Wenn explizit nur lokale Extrema verlangt sind, kann das aber entfallen.
Andererseits ist durch bloßes Hinschauen ersichtlich, dass die Funktion für [mm] $x\to{\infty}$ [/mm] und auch für [mm] $y\to{\pm\infty}$ [/mm] über alle Grenzen wächst und für [mm] $x\to{-\infty}$ [/mm] gegen [mm] $-\infty$ [/mm] strebt. Daher sind die berechneten Extrema nur lokale und es gibt keine globalen.
Gruß RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Di 22.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, das die Funktion im "unendlichen" nicht beschränkt ist, ist recht offensichtlich.
Vielen Dank für die Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Di 22.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Ja, das die Funktion im "unendlichen" nicht beschränkt
> ist, ist recht offensichtlich.
>
> Vielen Dank für die Hilfe.
Gern geschehen.
Ich "beantworte" jetzt diese "offene Frage", damit sie nicht in der Liste der unbeantworteten threads aufscheint 
Fürs Bedanken und sonstige Anmerkungen gibts hier den Artikel-Typ "Mitteilung". Aber es braucht ein wenig Zeit, bis man sich mit diesen Unterscheidungen anfreundet.
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Di 22.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Wohl wahr. Das passiert mir jedes zweite mal. :)
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