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lokale Maxima und Minima: Vorgehensweise
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:25 Fr 23.09.2005
Autor: Prinzessin83

Hi Leute,

ich habe wieder eine andere Aufgabenart die ich versuche zu lösen.
Einige meiner Freunde meinen sie wäre unlösbar.

Die Aufgaben lauten

Sei [mm] f:(0,\infty) \times (0,\infty) \to \IR [/mm] definiert durch [mm] f(x,y)=xy+2x-ln(x^{2}*y). [/mm]
a) Bestimme alle kritischen Punkte von f.
b) Untersuche f auf lokale Maxima und Minima.

Zu a)

Da habe ich mir gedacht einfach zu schauen wann f(x,y)=0 gilt.

Und habe folgedes rausbekommen
[mm] f(x_{1},y_{1})=(1,-2) [/mm]
[mm] f(x_{2},y_{2})=(-1,2) [/mm]

Weitere finde ich nicht, habe ich welche übersehen?

Wäre das dann Aufgabe a) ?
Wie muss ich mit b) weiter machen?

Danke euch fürs Lesen!!

        
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lokale Maxima und Minima: Kurvendiskussion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:29 Fr 23.09.2005
Autor: Britta82

Hi,

die kritischen Punkte sind die Punkte, an denen f´(x,y= 0 ist,

also mußt die die totale Ableitung bilden und dann die kritischen Punkte ausrechnen. Bei den Maximal und Minimalpunkten mußt du dann die zweite Ableitung berechnen  und gucken was passiert, wenn du die kritischen Punkte einsetzt.

LG

Britta

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lokale Maxima und Minima: Versuch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 Fr 23.09.2005
Autor: Prinzessin83

Hallo,

ich habe jetzt folgendes gemacht...

Gegeben ist
[mm] f(x,y)=xy+2x-ln(x^{2}*y) [/mm]

[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=-\bruch{2}{x}+y+2 [/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=-\bruch{1}{y}+x [/mm]

Und jetzt muss ich ja ausrechnen
f'(x,y)=0, d.h. ich muss Werte für (x,y) die in beiden Ableitungen 0 ergeben.

Aber ich finde keine! oder muss man das mit einer anderen Methode ausrechnen??

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lokale Maxima und Minima: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:17 Fr 23.09.2005
Autor: banachella

Hallo!

Du hast ja jetzt die zwei Gleichungen
(I)    [mm] $-\frac [/mm] 1y+x=0$
(II)   [mm] $-\bruch{2}{x}+y+2=0$ [/mm]
Lös doch mal die erste nach $x$ auf und setz das dann in die zweite ein!

Gruß, banachella

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lokale Maxima und Minima: Weiter...
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:50 Fr 23.09.2005
Autor: Prinzessin83

Danke für den Tipp!
Bin vorhin auch auf den kritischen Punkt [mm] (\bruch{1}{2},2) [/mm] gekommen

Aber andere gibt es nicht, richtig?

Jetzt muss ich ja die hesse matrix erstellen...

Hessf(x,y)= [mm] \pmat{ \bruch{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (x,y) & \bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} (x,y) \\ \bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (x,y) & \bruch{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (x,y) } [/mm]

= [mm] \pmat{ \bruch{2}{x^{2}} & \bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} (x,y) \\ \bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (x,y) & \bruch{1}{y^{2}} } [/mm]

Ich habe leider vergessen wie man die anderen Werte in der Hesse Matrix berechnet....

Kann mir das jemand sagen?

Danke!!

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lokale Maxima und Minima: Hesse Matrix
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:08 Fr 23.09.2005
Autor: Britta82

Hi,

das ist eigentlich gar nicht so schwer die anderen Punkte zu berechnen, also z.B [mm] \bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} [/mm] (x,y)

ist, wenn du f erst nach y abgeleitet hast und dann zum zweiten Mal nach x ableitest, also für dich:

[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=-\bruch{1}{y}+x [/mm]  und das nach x ableiten ist einfach 1

genauso bei [mm] \bruch{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} [/mm] (x,y)

Das ist deine Ableitung nach x
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=-\bruch{2}{x}+y+2 [/mm] und die nach y ableiten gibt wieder 1

Du hast dann also die Hessematrix:
[mm] \pmat{ \\ \bruch{2}{x^{2}} & 1 \\ 1 & \bruch{1}{y^{2}} } [/mm]

Ich hoffe, daß hilft dir schon,

LG

Britta

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lokale Maxima und Minima: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 Fr 23.09.2005
Autor: Prinzessin83

Danke! ich habe es eben auch herausgefunden, wie man die Hesse Matrix vollständig ausfüllt...

[mm] \pmat{ \bruch{2}{x^{2}} & \bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} (x,y) \\ \bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (x,y) & \bruch{1}{y^{2}} } [/mm]

A [mm] =\pmat{ \bruch{2}{x^{2}} & 1 \\ 1 & \bruch{1}{y^{2}} } [/mm]

Jetzt setze ich [mm] (\bruch{1}{2},2) [/mm] ein und habe

|A|= [mm] \vmat{ 8 & 1 \\ 1 & \bruch{1}{4} } [/mm]

Wie rechnet man jetzt aus ob es evtl. ein Sattelpunkt ist oder ein Extremum?

Ich meine, beachtet man die zwei Einser ?
Oder multipliziert man einfach
[mm] 8*\bruch{1}{4}=2>0, [/mm] kein Sattelpunkt und [mm] \bruch{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (\bruch{1}{2},2)=4>0 [/mm] und [mm] \bruch{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (\bruch{1}{2},2)>0 [/mm] --> lokales Maximum...

Richtig so?

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lokale Maxima und Minima: Sattelpunkt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 Fr 23.09.2005
Autor: MathePower

Hallo Prinzessin83,

> Danke! ich habe es eben auch herausgefunden, wie man die
> Hesse Matrix vollständig ausfüllt...

>  
> [mm]\pmat{ \bruch{2}{x^{2}} & \bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} (x,y) \\ \bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (x,y) & \bruch{1}{y^{2}} }[/mm]
>  
> A [mm]=\pmat{ \bruch{2}{x^{2}} & 1 \\ 1 & \bruch{1}{y^{2}} }[/mm]
>  
> Jetzt setze ich [mm](\bruch{1}{2},2)[/mm] ein und habe
>  
> |A|= [mm]\vmat{ 8 & 1 \\ 1 & \bruch{1}{4} }[/mm]
>  
> Wie rechnet man jetzt aus ob es evtl. ein Sattelpunkt ist
> oder ein Extremum?

Für ein Extremum muß [mm]f_{xx}\;f_{yy}\;-\;(f_{xy})^{2}\;>\;0[/mm] sein.
Außerdem müssen [mm]f_{xx}[/mm] und [mm]f_{yy}[/mm] gleiches Vorzeichen haben.

Ist [mm]f_{xx}\;>\;0[/mm] so handelt es sich um ein Minimum.
Ist [mm]f_{xx}\;<\;0[/mm] so handelt es sich um ein Maximum.

Ein Sattelpunkt liegt vor wenn [mm]f_{xx}\;f_{yy}\;-\;(f_{xy})^{2}\;< \;0[/mm].

Für [mm]f_{xx}\;f_{yy}\;-\;(f_{xy})^{2}\;=\;0[/mm] kann nicht entschieden werden, ob ein Extremum oder nicht vorhanden ist.

Natürlich gilt das nur für den betrachteten Punkt, d.h. es gilt [mm]f_{x}(x_{0},\;y_{0})\;=\;f_{y}(x_{0},\;y_{0})\;=\;0[/mm]

>  
> Ich meine, beachtet man die zwei Einser ?

Nein.

>  Oder multipliziert man einfach
>  [mm]8*\bruch{1}{4}=2>0,[/mm] kein Sattelpunkt und
> [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (\bruch{1}{2},2)=4>0[/mm]
> und [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (\bruch{1}{2},2)>0[/mm]
> --> lokales Maximum...
>  
> Richtig so?

Leider nicht.

Gruß
MathePower

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Bezug
lokale Maxima und Minima: 2 Versuch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 Fr 23.09.2005
Autor: Prinzessin83

Hallo Mathepower!

Vielen Dank für die Erläuterungen!!

Dann versuche ich es jetzt mal mit [mm] f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2} [/mm]

[mm] f_{xy} [/mm] ist die 1 unten links in meiner Hesse Matrix oder?

[mm] f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2} [/mm]
[mm] =8*\bruch{1}{4}-1 [/mm]
=1>0, Extremum

[mm] f_{xx}=8>0, [/mm] --> Minimum

Das heisst an der Stelle [mm] f(\bruch{1}{2},2) [/mm] handelt es sich um ein lokales
Minimum.

Richtig so?



Bezug
                                                                        
Bezug
lokale Maxima und Minima: OK
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 Fr 23.09.2005
Autor: MathePower

Hallo Prinzessin83,

> Dann versuche ich es jetzt mal mit
> [mm]f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}[/mm]
>  
> [mm]f_{xy}[/mm] ist die 1 unten links in meiner Hesse Matrix oder?

Ja, oder auch rechts oben.

>  
> [mm]f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}[/mm]
>  [mm]=8*\bruch{1}{4}-1[/mm]
>  =1>0, Extremum
>  
> [mm]f_{xx}=8>0,[/mm] --> Minimum
>  
> Das heisst an der Stelle [mm]f(\bruch{1}{2},2)[/mm] handelt es sich
> um ein lokales
> Minimum.
>  
> Richtig so?
>  

[ok]

Gruß
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
lokale Maxima und Minima: Allgemeine Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Fr 23.09.2005
Autor: Prinzessin83

Danke dir nochmal!

> Hallo Prinzessin83,
>  
> > Dann versuche ich es jetzt mal mit
> > [mm]f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}[/mm]
>  >  
> > [mm]f_{xy}[/mm] ist die 1 unten links in meiner Hesse Matrix oder?
>  
> Ja, oder auch rechts oben.
>  

Also müssen die Werte oben rechts und unten rechts immer gleich sein?
Wenn sie unterschiedlich sind, kann man dann davon ausgehen dass man einen Rechenfehler gemacht hat?



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Bezug
lokale Maxima und Minima: Allgemeine Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 Fr 23.09.2005
Autor: Galois

Hallo Prinzessin83,

> Also müssen die Werte oben rechts und unten rechts immer
> gleich sein?

Oben rechts und unten links. ;-)

> Wenn sie unterschiedlich sind, kann man dann davon
> ausgehen dass man einen Rechenfehler gemacht hat?

In der aller Regel ja. Für alle zweimal stetig differenzierbare Funktionen $f: [mm] \IR^2\to \IR$ [/mm] ist [mm] $f_{xy}=f_{yx}$, [/mm] d. h., es kommt nicht auf die Reihenfolge der Ableitungen nach x und y an.

Zweimal differenzierbare Funktionen, bei denen dies nicht der Fall ist - die also insbesondere nicht zweimal stetig differenzierbar sind - sind extrem selten und schwer zu konstruieren...

Grüße,
Galois

[]Bonner Mathe-Forum

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lokale Maxima und Minima: kleine Verbesserung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:38 Fr 23.09.2005
Autor: Galois

Schlag mich, wenn ich als Forumsneuling Dich irrtümlicherweise kritisieren sollte, aber die (hinreichende) Bedingung für das vorliegen eines Maximums (Minimums) ist doch immer noch, daß die Hesse-Matrix positiv (negativ) definit ist. Also:

Maximum, falls [mm] $f_{xx}\;f_{yy}\;-\;(f_{xy})^{2}\;>\;0$ [/mm] und [mm] $f_{xx}>0$ [/mm] (letzteres äquivalent zu [mm] $f_{yy}>0$). [/mm]
Minimum, falls [mm] $f_{xx}\;f_{yy}\;-\;(f_{xy})^{2}\;>\;0$ [/mm] und [mm] $f_{xx}<0$ [/mm] (letzteres äquivalent zu [mm] $f_{yy}<0$). [/mm]

Dies sind etwas andere Bedingungen als die von Dir angegebenen.

Ähm, wenn ich´s mir genauer angucke, war es eigentlich Deine Aussage "Außerdem müssen [mm] $f_{xx}$ [/mm] und [mm] $f_{yy}$ [/mm] gleiches Vorzeichen haben." (was ja automatisch der Fall ist) die mich irritierte. Also O.K., vom rein logischen Standpunkt stimmte Deine Ausführung. Allerdings könnte die genannte zusätzliche (und unnötige) Bedingung noch andere Leser durcheinanderbringen.

Grüße,
Galois

[]Bonner Mathe-Forum

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