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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Do 07.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
| Aufgabe 1 | [mm] x^{*}(t)= [/mm] -2x(t)+sin(x(t))*cos(y(t))
[mm] y^{*}(t)= [/mm] -3y(t) + arctan(x(t))*y(t)
man soll die lokale stabilität der lösung (0,0) mittels prinzip der linearisierten stabilität beweisen |
| Aufgabe 2 | jetzt soll für das system eine liapunov funktion V: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] gefunden werden.
hinweis für alle x [mm] \in \IR [/mm] |sin(x)/x| [mm] \le [/mm] 1
folgern sie dass jede lösung des systems für t [mm] \to \infty [/mm] gegen (0,=) geht. |
kann mir hier nochmal jemand helfen´und sagen, wsa ich machen muss?
hatte bisher immernur systeme wie [mm] x^{2}+y-2x [/mm] usw...
ich weiß nicht,ie ich hier rangehen muss.
tut mir leid, dass ich im moment so viel frage. aber ich wollte das alles mal nachholen und bis zum wochenende habe ich da noch zeit für.
bin dankbar für jede hilfe
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Hallo Vicky89,
> [mm]x^{*}(t)=[/mm] -2x(t)+sin(x(t))*cos(y(t))
> [mm]y^{*}(t)=[/mm] -3y(t) + arctan(x(t))*y(t)
>
> man soll die lokale stabilität der lösung (0,0) mittels
> prinzip der linearisierten stabilität beweisen
> jetzt soll für das system eine liapunov funktion V:
> [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] gefunden werden.
> hinweis für alle x [mm]\in \IR[/mm] |sin(x)/x| [mm]\le[/mm] 1
>
> folgern sie dass jede lösung des systems für t [mm]\to \infty[/mm]
> gegen (0,=) geht.
> kann mir hier nochmal jemand helfen´und sagen, wsa ich
> machen muss?
> hatte bisher immernur systeme wie [mm]x^{2}+y-2x[/mm] usw...
> ich weiß nicht,ie ich hier rangehen muss.
Bei Aufgabe 1) bestimmtst Du zunächst die Ruhelage des Systems.
Dann linearisierst Du das System um die Ruhelage herum.
Von der so erhaltenen Matrix bestimmst Du dann die Eigenwerte.
Damit kannst Du dann eine Aussage über die Stabilität machen.
Siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) Stabilität - Wikipedia
>
> tut mir leid, dass ich im moment so viel frage. aber ich
> wollte das alles mal nachholen und bis zum wochenende habe
> ich da noch zeit für.
> bin dankbar für jede hilfe
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Do 07.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
Bestimme ich die Ruhelage in dem ich die jacobimatrix bestimme und gleich 0 setze? und anschließend bestimme ich die eigenwerte?
wenn das so ist, wie mache ich das bei dieser funktion?
bei dem beispiel was ich hier in einer übung habe, ist mir das klar.
aber bei diesem system?
[mm] x^{*}(t)= [/mm] -2x(t)+sin(x(t))*cos(y(t))
[mm] y^{*}(t)= [/mm] -3y(t) + arctan(x(t))*y(t)
mich irritieren die x(t) und y(t)
das ist eigentlich so mit das größte problem bei der aufgabe...
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Hallo Vicky89,
> Bestimme ich die Ruhelage in dem ich die jacobimatrix
> bestimme und gleich 0 setze? und anschließend bestimme ich
> die eigenwerte?
Die Ruhelage ist Lösung des Gleichungsystems
[mm]0=-2x+sin(x)*cos(y)[/mm]
[mm]0=-3y + arctan(x*y)[/mm]
Andererseits ist hier schon vorgegeben,
daß Du die Stabilität der Lösung (0,0) untersuchen sollst.
>
> wenn das so ist, wie mache ich das bei dieser funktion?
>
> bei dem beispiel was ich hier in einer übung habe, ist mir
> das klar.
>
> aber bei diesem system?
>
> [mm]x^{*}(t)=[/mm] -2x(t)+sin(x(t))*cos(y(t))
> [mm]y^{*}(t)=[/mm] -3y(t) + arctan(x(t))*y(t)
>
> mich irritieren die x(t) und y(t)
> das ist eigentlich so mit das größte problem bei der
> aufgabe...
Linearisiere
[mm]\pmat{-2x+sin(x)*cos(y) \\ -3*y+arctan(x*y)}[/mm]
um (0,0)
Gruss
MathePower
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