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lokale Änd.-rate & Ableitungen: erste Ableitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:00 Fr 06.12.2013
Autor: KarlMarx

Dies ist kein Hilfegesuch, sondern eine Übungsaufgabe im Rahmen meines Vorkurses.


Länge eines Autobahnstaus

Am Autobahnkreuz Kamen-Bergkamen wurde über einen längeren Zeitraum die Staulänge in Abhängigkeit der Tageszeit gemessen. Diese []Abbildung zeigt die Länge eines aus diesen Daten ermittelten durchschnittlichen Staus an Werktagen. Die Staulänge ist in km, die Zeit in Stunden angegeben. Die Zeitachse beginnt um 0:00 Uhr.

a) Beschreibe den zeitlichen Verlauf des Staus anhand der graphischen Darstellung mit eigenen Worten. Begründe insbesondere die zwei Maxima des Graphen.

Für $7 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 19,3$ (rechte Grenze = erste Näherung) genügt der Graph der Funktionsgleichung $l(t) = [mm] \frac{1}{100}\left(-t^4 + 51t^3 - 943t^2 + 7497t - 21364\right)$. [/mm]

b) Berechne die Länge des Staus um 8.00 Uhr. Berechne weiter, wie stark die Staulänge zu diesem Zeitpunkt zunimmt.
c) Berechne die maximale Staulänge am Vormittag und die Uhrzeit, zu welcher diese Länge Auftritt.

Üblicherweise gibt der Verkehrsfunk im Radio Staus ab 2 km Länge durch.

d) Überprüfe, ob der Stau an diesem Autobahnkreuz auch zwischen 12 und 13 Uhr ständig durchgegeben wird.
e) Berechne die stärkste Zunahme des Staus am Nachmittag und wann diese auftritt.
f) Berechne, wann am Nachmittag der Stau am längsten ist; gib auch diese maximale Länge an. Wie wird dieses Maximum vom unter Aufgabenteil c) bestimmten Maximum mit mathematischen Begriffen unterschieden?
g) Berechne, zu welchem nachmittäglichen Zeitpunkt die Zahl der Autos, die sich am Ende des Staus einreihen, genau so groß ist wie die Zahl der Autos, die an der Spitze des Staus wieder freie Fahrt haben. Gib auch an, wie lang der Stau zu diesem Zeitpunkt ist.
h) Bestimme näherungsweise auf mindestens zwei Nachkommastellen genau, d.h. entweder zeichnerisch oder aber durch ein geeignetes numerisches Verfahren, zu welcher Uhrzeit sich der Stau auflöst.

Zusatzaufgabe

i) Bei einem aktuellen Stau wird um 9:00 Uhr bereits eine Länge von 4 km gemessen. Gib mindestens eine rechnerisch begründete Prognose an, wie lang dieser Stau am Nachmittag maximal sein wird.


Gruß, Kalle.

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