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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf lokale Extrema
a) f(x,y) = [mm] x^{4}+y^{4}-x^{2}-2xy-y^{2}
[/mm]
b) f(x,y) = [mm] (1+e^{y})cosx-y*e^{y} [/mm] |
So hab zur a) erstmal ne Frage hab den Gradienten bestimmt
Grad(f) = [mm] (4x^{3}-2x-2y, 4y^{3}-2x-2y)^{T}
[/mm]
und ihn null gesetzt als kritische Punkte hab ich (0,0), (1,1), (-1,-1)
Dann hab ich die Hesse-Matrix Gebildet
[mm] H_{f}(x,y) [/mm] = [mm] \pmat{ 12x^{2}-2 & -2 \\ -2 & 12y^{2}-2 }
[/mm]
die kritischen Punkte eingesetzt ergibt dann
[mm] H_{f}(0,0) [/mm] = [mm] \pmat{ -2 & -2 \\ -2 & -2 }
[/mm]
[mm] H_{f}(1,1) [/mm] = [mm] \pmat{ 10 & -2 \\ -2 & 10 }
[/mm]
[mm] H_{f}(-1,-1) [/mm] = [mm] \pmat{ 10 & -2 \\ -2 & 10 }
[/mm]
So dann ergibt sich dass bei (1,1) und (-1,-1) je ein lokales Minimum ist da die Hesse Matrix positiv definit ist
aber was ist jetzt im Punkt (0,0) liegt da ein Sattelpunkt? vor die Hesse Matrix ist ja negativ semidefinit
Wie gehe ich in einem solchen Fall vor?
lg eddie
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Hallo eddiebingel,
> Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf lokale
> Extrema
> a) f(x,y) = [mm]x^{4}+y^{4}-x^{2}-2xy-y^{2}[/mm]
> b) f(x,y) = [mm](1+e^{y})cosx-y*e^{y}[/mm]
> So hab zur a) erstmal ne Frage hab den Gradienten
> bestimmt
>
> Grad(f) = [mm](4x^{3}-2x-2y, 4y^{3}-2x-2y)^{T}[/mm]
>
> und ihn null gesetzt als kritische Punkte hab ich (0,0),
> (1,1), (-1,-1)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann hab ich die Hesse-Matrix Gebildet
>
> [mm]H_{f}(x,y)[/mm] = [mm]\pmat{ 12x^{2}-2 & -2 \\ -2 & 12y^{2}-2 }[/mm]
>
> die kritischen Punkte eingesetzt ergibt dann
>
> [mm]H_{f}(0,0)[/mm] = [mm]\pmat{ -2 & -2 \\ -2 & -2 }[/mm]
> [mm]H_{f}(1,1)[/mm] =
> [mm]\pmat{ 10 & -2 \\ -2 & 10 }[/mm]
> [mm]H_{f}(-1,-1)[/mm] = [mm]\pmat{ 10 & -2 \\ -2 & 10 }[/mm]
>
> So dann ergibt sich dass bei (1,1) und (-1,-1) je ein
> lokales Minimum ist da die Hesse Matrix positiv definit
> ist
>
> aber was ist jetzt im Punkt (0,0) liegt da ein Sattelpunkt?
> vor die Hesse Matrix ist ja negativ semidefinit
> Wie gehe ich in einem solchen Fall vor?
>
In diesem Fall ist keine Entscheidung möglich.
> lg eddie
Gruss
MathePower
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Hallo nochmal eine allgemeine Frage hierzu wann ist ein Punkt ein Sattelpunkt und wie kann ich dieses begründen beziehungsweise feststellen?
lg eddie
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Mo 02.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ein ![[]](/images/popup.gif) Sattelpunkt ist ein Punkt, dessen Koordinaten die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt erfüllen, nicht aber die hinreichnde.
Marius
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Guten Morgen miteinander
Habe jetzt bei der b) weitergemacht
Als Gradienten habe ich grad (f) (x,y) = [mm] \vektor{(1+e^{y})*(-sinx) \\ e^{y}*(cosx-1-y)}
[/mm]
Damit habe ich als krit.Pkte [mm] (2k\pi,0) [/mm] für k=0,1,2,...
Berechnung der Hesse Matrix
H(x,y) = [mm] \pmat{ 1+e^{y})*(-cosx) & e^{y}*(-sinx) \\ e^{y}*(-sinx) & e^{y}*(cosx-1-y)-e^{y}}
[/mm]
Damit ergibt sich für die Hessematrix der krit Pkte
[mm] H(2k\pi,0) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }
[/mm]
Damit ist die Hessematrix indefinit und es ex keine Extrema richtig?
lg eddie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Mo 09.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen miteinander
>
> Habe jetzt bei der b) weitergemacht
>
> Als Gradienten habe ich grad (f) (x,y) =
> [mm]\vektor{(1+e^{y})*(-sinx) \\ e^{y}*(cosx-1-y)}[/mm]
>
> Damit habe ich als krit.Pkte [mm](2k\pi,0)[/mm] für k=0,1,2,...
Das sind nicht alle..... !
FRED
>
> Berechnung der Hesse Matrix
>
> H(x,y) = [mm]\pmat{ 1+e^{y})*(-cosx) & e^{y}*(-sinx) \\ e^{y}*(-sinx) & e^{y}*(cosx-1-y)-e^{y}}[/mm]
>
> Damit ergibt sich für die Hessematrix der krit Pkte
>
> [mm]H(2k\pi,0)[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm]
>
> Damit ist die Hessematrix indefinit und es ex keine Extrema
> richtig?
>
> lg eddie
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Ja klar als weitere krit Pkte gibt es noch [mm] (k\pi,-2) [/mm] für k=1,3,5,...
Aber gibt es keine Extrema da die Hesse Matrix hier ebenfalls indefinit ist
[mm] H(k\pi) [/mm] = [mm] \pmat{ 1+e^{-2} & 0 \\ 0 & -e^{-2} }
[/mm]
stimmt es so?
lg eddie
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Hallo eddiebingel,
> Ja klar als weitere krit Pkte gibt es noch [mm](k\pi,-2)[/mm] für
> k=1,3,5,...
>
> Aber gibt es keine Extrema da die Hesse Matrix hier
> ebenfalls indefinit ist
>
> [mm]H(k\pi)[/mm] = [mm]\pmat{ 1+e^{-2} & 0 \\ 0 & -e^{-2} }[/mm]
>
> stimmt es so?
>
Ja.
> lg eddie
Gruss
MathePower
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