lokale/globale Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Hollo |
| Aufgabe | Untersuchen sie f:[-1,1]x[-1,1] [mm] \to \IR [/mm] mit [mm] f(x_{1},x_{2})=9x_{1}^{2}+9x_{2}^{2}-6x_{1}-12x_{1}+5
[/mm]
auf lokale und globale Extrema. |
Lösung(sansatz):
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{1}}(x_{1},x_{2})=18x_{1}-6
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{2}}(x_{1},x_{2})=18x_{2}-12
[/mm]
[mm] 18x_{1}-6=0 \gdw x_{1}=\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] 18x_{2}-12=0 \gdw x_{2}=\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Kritischer Punkt: [mm] (\bruch{1}{3},\bruch{2}{3})
[/mm]
[mm] H_{f}(x_{1},x_{2})=\pmat{ \bruch{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}}(x_{1},x_{2}) & \bruch{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{2}}(x_{1},x_{2}) \\ \bruch{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{2}}(x_{1},x_{2}) & \bruch{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}}(x_{1},x_{2}) }
[/mm]
[mm] =\pmat{ 18 & 0 \\ 0 & 18 }
[/mm]
Untersuchung der Hessematrix im kritischen Punkt:
[mm] H_{f}(\bruch{1}{3},\bruch{2}{3})=\vmat{ 18 & 0 \\ 0 & 18 }=324>0
[/mm]
und [mm] \bruch{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}}(\bruch{1}{3},\bruch{2}{3})=18>0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Striktes lokales Minimum in [mm] (\bruch{1}{3},\bruch{2}{3}).
[/mm]
Hallo, kann hier vielleicht mal jemand drüber schauen und sagen ob es richtig ist bzw. was man noch verbessern kann?
Und wie finde ich heraus ob mein lokales Minimum auch ein globales ist?
Gruß Hollo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Hollo,
wie Du selbst berechnet hast, gibt es nur ein Minimum, - die Gleichungen zur Bestimmung sind linear -, und insofern ist Dein lokales Minimum auch ein globales.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Hollo |
Danke!
Viele Grüße Hollo
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