lokale/globale Umkehrbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 So 05.06.2005 | | Autor: | Lessa |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
Hi, hoffe mir kann jemand weiterhelfen. Hab folgende Aufgaben zu bearbeiten:
(1) Betrachten Sie die Abb. p: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2}, [/mm] geg. durch
(x,y) [mm] \mapsto \vektor{x+y^{2}\\ y+x^{2}+2xy^{2}+y^{4}}
[/mm]
i) an welchen Stellen ist p lokal umkehrbar?
ii) ist p global umkehrbar?
iii) falls global umkehrbar, gibt es eine Umkehrfunktion. Kann man sie explizit finden?
Schätze man nutzt da den Satz der lok. Umkehrbarkeit.
Hab mir zu i) überlegt,dass p stetig differenzierbar und dass p' [mm] \vektor{x \\ y}= \pmat{ 1 & 2y \\ 2x+2 & 1+4xy+4y^{3} } [/mm] ist und invertierbar falls die Determinante ungleich Null,
dh. p ist lokal umkehrbar [mm] \forall \vektor{x \\ y} \in \IR^{2} [/mm] mit [mm] y^{3}-y+ \bruch{1}{4} \not=0
[/mm]
zu ii) muss man dann zeigen, dass es y gibt, für die [mm] y^{3}-y+ \bruch{1}{4}=0 [/mm] ist un daher nicht global?
Allerdings lässt iii) wohl eher vermuten, dass global umkehrbar. Dann wäre mit p(x,y) = [mm] \vektor{x+y^{2}\\ y+x^{2}+2xy^{2}+y^{4}}=: \vektor{a \\ b}
[/mm]
[mm] a=x+y^{2} [/mm] und [mm] b=y+x^{2}+2xy^{2}+y^{4}= y+(x+y^{2})^{2}=y+a^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y=b-a^{2} \Rightarrow x=a-b+a^{2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Do 11.06.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
wie ist die lokale Umkehrbarkeit streng(!) definiert ?
Kann man die Definition im Internet finden?
Wie ist der gängigste Weg die lokale Umkehrbarkeit nachzuweisen?
Ich habe bis jetzt nicht gefunden.
MfG
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:20 Fr 12.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> wie ist die lokale Umkehrbarkeit streng(!) definiert ?
Sind X,Y topologische/metrische Räume und [mm] $f:X\to [/mm] Y$, dann heißt f in [mm] $x\in [/mm] X$ lokal umkehrbar, falls es eine Umgebung [mm] $U\subset [/mm] X$ von x und [mm] $V\subset [/mm] Y$ von f(x) gibt, sodass die Einschränkung [mm] $f:U\to [/mm] V$ bijektiv ist.
> Wie ist der gängigste Weg die lokale Umkehrbarkeit
> nachzuweisen?
Ganz allgemein gibt es dafür sicher kein Kochrezept. Im Falle stetig differenzierbarer Abbildungen [mm] $f:\IR^n\to\IR^m$ [/mm] gilt jedoch der Satz über die Umkehrabbildung: Ist Df(x) ein Vektorraumisomorphismus (dazu muss notwendig n=m sein), so ist f lokal umkehrbar, mehr noch: die (lokale) Umkehrabbildung ist sogar stetig differenzierbar und es ist [mm] $Df^{-1}(f(x))=(Df(x))^{-1}$.
[/mm]
Man kann den Satz über die Umkehrabbildung in naheliegende Weise noch auf Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ausdehnen.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Sa 13.06.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Robert,
danke Dir für die Antwort !
Wenn ich richtig verstanden habe, dann reicht es im Falle des Satzes über die Umkehrabbildung zu zeigen, dass die Jacobi-Matrix invertierbar ist .
Stimmt das ?
MfG
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Sa 13.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> Wenn ich richtig verstanden habe, dann reicht es im Falle
> des Satzes über die Umkehrabbildung zu zeigen, dass die
> Jacobi-Matrix invertierbar ist . Stimmt das ?
Ja.
Gruß, Robert
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Hallo Lessa,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hab mir zu i) überlegt,dass p stetig differenzierbar und
> dass p' [mm]\vektor{x \\ y}= \pmat{ 1 & 2y \\ 2x+2 & 1+4xy+4y^{3} }[/mm]
> ist und invertierbar falls die Determinante ungleich Null,
> dh. p ist lokal umkehrbar [mm]\forall \vektor{x \\ y} \in \IR^{2}[/mm]
> mit [mm]y^{3}-y+ \bruch{1}{4} \not=0[/mm]
> zu ii) muss man dann
> zeigen, dass es y gibt, für die [mm]y^{3}-y+ \bruch{1}{4}=0[/mm] ist
> un daher nicht global?
Soll eine Funktion global umkehrbar sein, so denke ich muß nachgewiesen werden, daß sie bijektiv ist.
> Allerdings lässt iii) wohl eher vermuten, dass global
> umkehrbar. Dann wäre mit p(x,y) = [mm]\vektor{x+y^{2}\\ y+x^{2}+2xy^{2}+y^{4}}=: \vektor{a \\ b}[/mm]
>
> [mm]a=x+y^{2}[/mm] und [mm]b=y+x^{2}+2xy^{2}+y^{4}= y+(x+y^{2})^{2}=y+a^{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y=b-a^{2} \Rightarrow x=a-b+a^{2}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Di 07.06.2005 | | Autor: | Lessa |
Danke schonmal für die antwort. hoffe dass das mit der Bijektivität ausreicht. das ist doch dann nur:
[mm] \forall \vektor{x_{1} \\ x_{2}}, \vektor{y_{1} \\ y_{2}} \in \IR^{2} [/mm] :
p( [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}})=p( \vektor{y_{1} \\ y_{2}})
[/mm]
[mm] \Rightarrow \vektor{x_{1} \\ x_{2}}= \vektor{y_{1} \\ y_{2}}
[/mm]
und
[mm] \forall \vektor{y_{1} \\ y_{2}} \in \IR^{2} [/mm] : [mm] \exists \vektor{x_{1} \\ x_{2}} \in \IR^{2} [/mm] : p( [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}})= \vektor{y_{1} \\ y_{2}}
[/mm]
?
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Hallo Lessa,
> Danke schonmal für die antwort. hoffe dass das mit der
> Bijektivität ausreicht. das ist doch dann nur:
> [mm]\forall \vektor{x_{1} \\ x_{2}}, \vektor{y_{1} \\ y_{2}} \in \IR^{2}[/mm]
> :
> p( [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2}})=p( \vektor{y_{1} \\ y_{2}})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \vektor{x_{1} \\ x_{2}}= \vektor{y_{1} \\ y_{2}}[/mm]
>
> und
> [mm]\forall \vektor{y_{1} \\ y_{2}} \in \IR^{2}[/mm] : [mm]\exists \vektor{x_{1} \\ x_{2}} \in \IR^{2}[/mm]
> : p( [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2}})= \vektor{y_{1} \\ y_{2}}[/mm]
> ?
Ich denke, das reicht hier aus.
Und die Determinante der Ableitungen muß hier für jedes beliebige Paar (x,y) ungleich 0 sein.
Gruß
MathePower
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