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Forum "Differentialgleichungen" - lokalen Diskretisationsfehler
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lokalen Diskretisationsfehler: schätzen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 Fr 13.07.2012
Autor: gotoxy86

Aufgabe
[mm] \dot x=\bruch{-100t}{1+x^2} [/mm]

[mm] x_0=x(0)=1 [/mm]

Kutta-Runge-Verfahren 2. Ordnung

für h=0.1

[mm] x_1^{0.1}=0.75 [/mm]

für h=0.05

[mm] x_1^{0.05}=0.9375 [/mm]

[mm] x_2^{0.05}=0.71919 [/mm]

Formel für den lokalen Diskretisationsfehler:

[mm] d_{n+1}=x(t_{n+1})-(x_n+h\Phi) [/mm]

Das Ergebnis laut LSG-Blatt:

[mm] E_h=0.04108 [/mm]


Ist das überhaupt die Richtige Formel dafür?
Wenn nein, welche dann?
Wenn doch, dann was setze ich für für [mm] \phi [/mm] ein?

        
Bezug
lokalen Diskretisationsfehler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Fr 13.07.2012
Autor: MathePower

Hallo gotoxy86,

> [mm]\dot x=\bruch{-100t}{1+x^2}[/mm]
>
> [mm]x_0=x(0)=1[/mm]
>  
> Kutta-Runge-Verfahren 2. Ordnung
>
> für h=0.1
>  
> [mm]x_1^{0.1}=0.75[/mm]
>  
> für h=0.05
>  
> [mm]x_1^{0.05}=0.9375[/mm]
>  
> [mm]x_2^{0.05}=0.71919[/mm]
>  
> Formel für den lokalen Diskretisationsfehler:
>  
> [mm]d_{n+1}=x(t_{n+1})-(x_n+h\Phi)[/mm]
>  
> Das Ergebnis laut LSG-Blatt:
>  
> [mm]E_h=0.04108[/mm]
>  
> Ist das überhaupt die Richtige Formel dafür?


Falls [mm]x\left(t_{n+1}\right)[/mm] der Wert der exakten Lösung ist,
dann ist das die richtige Formel.


>  Wenn nein, welche dann?
>  Wenn doch, dann was setze ich für für [mm]\phi[/mm] ein?


[mm]\phi\left(x,t;h\right):=\bruch{1}{2}*\left( \ f\left(x,t\right) + f\left(x+h*f\left(x,t\right),t+h\right) \ \right)[/mm]


Gruss
MathePower


Bezug
                
Bezug
lokalen Diskretisationsfehler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 Fr 13.07.2012
Autor: gotoxy86

Aufgabe
Das macht es echt nicht einfacher.

Danke erstmal.

> > [mm]\dot x=\bruch{-100t}{1+x^2}[/mm]
> >
> > [mm]x_0=x(0)=1[/mm]
>  >  
> > Kutta-Runge-Verfahren 2. Ordnung
> >
> > für h=0.1
>  >  
> > [mm]x_1^{0.1}=0.75[/mm]
>  >  
> > für h=0.05
>  >  
> > [mm]x_1^{0.05}=0.9375[/mm]
>  >  
> > [mm]x_2^{0.05}=0.71919[/mm]
>  >  
> > Formel für den lokalen Diskretisationsfehler:
>  >  
> > [mm]d_{n+1}=x(t_{n+1})-(x_n+h\Phi)[/mm]
>  >  
> > Das Ergebnis laut LSG-Blatt:
>  >  
> > [mm]E_h=0.04108[/mm]
>  >  
> > Ist das überhaupt die Richtige Formel dafür?
>  
>
> Falls [mm]x\left(t_{n+1}\right)[/mm] der Wert der exakten Lösung
> ist,
>  dann ist das die richtige Formel.
>  
>
> >  Wenn nein, welche dann?

>  >  Wenn doch, dann was setze ich für für [mm]\phi[/mm] ein?
>
>
> [mm]\phi\left(x,t;h\right):=\bruch{1}{2}*\left( \ f\left(x,t\right) + f\left(x+h*f\left(x,t\right),t+h\right) \ \right)[/mm]

Was für "x"e und "t"s soll ich denn da jetzt einsetzen? Hab zu viele davon?

Vllt. können Sie mir das ausführlich Vorrechnen?


Bezug
                        
Bezug
lokalen Diskretisationsfehler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:08 So 15.07.2012
Autor: MathePower

Hallo gotoxy86,

> Das macht es echt nicht einfacher.
>  Danke erstmal.
>  
> > > [mm]\dot x=\bruch{-100t}{1+x^2}[/mm]
> > >
> > > [mm]x_0=x(0)=1[/mm]
>  >  >  
> > > Kutta-Runge-Verfahren 2. Ordnung
> > >
> > > für h=0.1
>  >  >  
> > > [mm]x_1^{0.1}=0.75[/mm]
>  >  >  
> > > für h=0.05
>  >  >  
> > > [mm]x_1^{0.05}=0.9375[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]x_2^{0.05}=0.71919[/mm]
>  >  >  
> > > Formel für den lokalen Diskretisationsfehler:
>  >  >  
> > > [mm]d_{n+1}=x(t_{n+1})-(x_n+h\Phi)[/mm]
>  >  >  
> > > Das Ergebnis laut LSG-Blatt:
>  >  >  
> > > [mm]E_h=0.04108[/mm]
>  >  >  
> > > Ist das überhaupt die Richtige Formel dafür?
>  >  
> >
> > Falls [mm]x\left(t_{n+1}\right)[/mm] der Wert der exakten Lösung
> > ist,
>  >  dann ist das die richtige Formel.
>  >  
> >
> > >  Wenn nein, welche dann?

>  >  >  Wenn doch, dann was setze ich für für [mm]\phi[/mm] ein?
> >
> >
> > [mm]\phi\left(x,t;h\right):=\bruch{1}{2}*\left( \ f\left(x,t\right) + f\left(x+h*f\left(x,t\right),t+h\right) \ \right)[/mm]
>  
> Was für "x"e und "t"s soll ich denn da jetzt einsetzen?
> Hab zu viele davon?
>  
> Vllt. können Sie mir das ausführlich Vorrechnen?
>  


Schau mal in Deinem Skript nach,
ob sich für den lokalen Diskretisationsfehler
eine Abschätzung findet.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
lokalen Diskretisationsfehler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 So 15.07.2012
Autor: gotoxy86

Aufgabe
Ja, ich hab eine Abschätzung gefunden:

[mm] E_h=\bruch{x_1^{0.1}-x_2^{0.05}}{x_1^{0.1}}=0.041 [/mm]

Es war der relative Fehler gefragt.

Aber warum ist [mm] x_1^{0.1} [/mm] das exakte Ergebnis und nicht [mm] x_2^{0.05}? [/mm]

Danke, für den Tipp.

Bezug
                                        
Bezug
lokalen Diskretisationsfehler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:01 So 15.07.2012
Autor: MathePower

Hallo gotoxy86,

> Ja, ich hab eine Abschätzung gefunden:
>  
> [mm]E_h=\bruch{x_1^{0.1}-x_2^{0.05}}{x_1^{0.1}}=0.041[/mm]
>  
> Es war der relative Fehler gefragt.
>  Aber warum ist [mm]x_1^{0.1}[/mm] das exakte Ergebnis und nicht
> [mm]x_2^{0.05}?[/mm]
>  


Beides sind nur Näherungswerte für den Wert der exakten Lösung
an der Stelle [mm]x_1^{0.1}=x_2^{0.05}=0.1[/mm]


> Danke, für den Tipp.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
lokalen Diskretisationsfehler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:09 So 15.07.2012
Autor: gotoxy86

Aufgabe
Wäre es falsch, wenn ich für [mm] E_h [/mm]  

[mm] \bruch{x_2^{0.05}-x_1^{0.1}}{x_2^{0.05}} [/mm]

anstatt

[mm] \bruch{x_1^{0.1}-x_2^{0.05}}{x_1^{0.1}} [/mm]

rechne?

Das exakte Ergebnis habe ich ja nicht. Und mit der einen Formel komme ich genau auf die 0.04108. Deswegen denke ich, dass man das exakte Ergebnis nicht herausfinden muss.



Bezug
                                                        
Bezug
lokalen Diskretisationsfehler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 So 15.07.2012
Autor: MathePower

Hallo gotoxy86,

> Wäre es falsch, wenn ich für [mm]E_h[/mm]  
>
> [mm]\bruch{x_2^{0.05}-x_1^{0.1}}{x_2^{0.05}}[/mm]
>  
> anstatt
>  
> [mm]\bruch{x_1^{0.1}-x_2^{0.05}}{x_1^{0.1}}[/mm]
>  
> rechne?


Ja.


>  Das exakte Ergebnis habe ich ja nicht. Und mit der einen
> Formel komme ich genau auf die 0.04108. Deswegen denke ich,
> dass man das exakte Ergebnis nicht herausfinden muss.
>  


Da liegst Du völlig richtig.  


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
lokalen Diskretisationsfehler: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:31 So 15.07.2012
Autor: gotoxy86

Woher weiß ich denn ob ich das so machen muss oder so?


Ist das Ergebnis von [mm] x_1^{0.1} [/mm] exakter? Und wenn ja, warum?

Bezug
                                                                        
Bezug
lokalen Diskretisationsfehler: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Di 17.07.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                        
Bezug
lokalen Diskretisationsfehler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 So 15.07.2012
Autor: gotoxy86

Aufgabe
[mm] \parallel\!\!Ax-b\!\parallel_2^2 [/mm]

Was bedeutet dieser Ausdruck?

Ich weiß schon mal, dass da die Matrix mit ihrer Lösung drinsteckt.

Aber was sind dieses doppelten Betragsstriche, sowie dessen Exponent bzw. dessen Index?



Bezug
                                                
Bezug
lokalen Diskretisationsfehler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 So 15.07.2012
Autor: MathePower

Hallo gotoxy86,

> [mm]\parallel\!\!Ax-b\!\parallel_2^2[/mm]
>  Was bedeutet dieser Ausdruck?
>  
> Ich weiß schon mal, dass da die Matrix mit ihrer Lösung
> drinsteckt.
>  
> Aber was sind dieses doppelten Betragsstriche, sowie dessen
> Exponent bzw. dessen Index?
>  


Der Index deutet auf die euklidische Norm hin.

  
Gruss
MathePower


Bezug
                
Bezug
lokalen Diskretisationsfehler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:32 Sa 14.07.2012
Autor: gotoxy86

für h=0.1 oder h=0.05?

ähnliches auch für t=0.1 oder t=0.05 oder t=0?

x=1 oder x=0.75 oder x=0.94 oder x=0.72?

Bezug
                        
Bezug
lokalen Diskretisationsfehler: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:18 Sa 14.07.2012
Autor: gotoxy86

Kann mir bitte hier jemand helfen, ich komm nicht auf das Ergebnis, gibt es vllt. eine bessere Methode?


Ich hab verstanden, dass "d=Lösung1 minus Lösung2" ist.

Aber auf dieses [mm] E_h [/mm] komme ich einfach nicht.

Anscheinend gibte noch ne andere Formel, oder ich muss noch ein Ergebnis haben.

Bezug
                        
Bezug
lokalen Diskretisationsfehler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:12 So 15.07.2012
Autor: MathePower

Hallo gotoxy86,

> für h=0.1 oder h=0.05?
>  
> ähnliches auch für t=0.1 oder t=0.05 oder t=0?
>  
> x=1 oder x=0.75 oder x=0.94 oder x=0.72?


Siehe dazu diesen Artikel.


Gruss
MathePower

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