mal wieder Laurentreihen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Ich hab hier zwei Funktionen die ich in Laurentreihen entwickeln soll:
a) [mm] \bruch{3}{(z+1)(z-2)} [/mm] in 1<|z|<2
b) [mm] \bruch{1}{z(z-3)^{2}} [/mm] in 1<|z-1|<2
zu a)
[mm] \bruch{3}{(z+1)(z-2)}=\bruch{-1}{(z+1)}+\bruch{1}{(z-2)}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{(z-2)}=- \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{2^{k+1}}z^{k}
[/mm]
[mm] \bruch{-1}{(z+1)}=- \bruch{1}{z}\bruch{1}{1-(- \bruch{1}{z})}=(-\bruch{1}{z})\summe_{k=0}^{\infty}(-\bruch{1}{z})^{k}=\summe_{k=0}^{\infty}(-\bruch{1}{z})^{k+1}
[/mm]
Vor allem bei dem zweiten Teil hab ich keine Ahnung, ob das so stimmt!
Falls es stimmt, muss man es einfach nur noch zusammensetzen, oder?
b) hier habe ich leider schon gar keine Ahnung wie ich da Partialbruchzerlegung machen soll? Da gibt es doch irgendeinen Trick, oder?
Wäre supernett wenn mir da jemand helfen könnte!
|
|
| |
|
Hi Melli!
Also zur Partialbruchzerlegung kann ich dir folgendes sagen:
Die Brüche sollten im Nenner ja jeweils eine Nullstelle des zu zerlegenden Bruches haben. Wir haben nun die Nullstellen z=0 sowie doppelt (z-3)=0
Die doppelte Nullstelle berücksichtigen wir auch doppelt:
$ [mm] \bruch{1}{z(z-3)^{2}} [/mm] $ = [mm] \bruch{A}{z}+\bruch{B}{z-3}+\bruch{C}{(z-3)^2}
[/mm]
Damit solltest du weiterkommen!
Mit den ganzen anderen Teilen kenne ich mich leider überhaupt nicht aus!
MfG
Tran
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Di 14.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Melli!
Ich konnte im Teil a) keine Fehler finden. Daher gilt also:
[mm] $\frac{3}{(z+1)(z-2)} [/mm] = [mm] \underbrace{-\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^{k+1}}z^k}_{\mbox{Nebenteil}} [/mm] + [mm] \underbrace{\sum\limits_{k=-\infty}^{-1} (-1)^k z^k}_{\mbox{Hauptteil}}$.
[/mm]
Beim zweiten Teil musst du beachten, dass du um [mm] $z_0=1$ [/mm] entwickeln musst, also in Termen [mm] $(z-1)^k$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo ihr!
Erstmal danke für die Antworten!
Ich habe jetzt zwar eine Partialbruchzerlegung hinbekommen, aber das hilft mir irgendwie auch nicht weiter!
[mm] \bruch{1}{z(z-3)^{2}}= \bruch{1/9}{z}- \bruch{1/9}{z-3} +\bruch{1/3}{(z-3)^{2}}
[/mm]
Das stimmt doch soweit, oder?
Dann hab ich mir folgendes überlegt, damit ich zu den (z-1) - Termen komme:
[mm] \bruch{1/9}{(z-1)+1}- \bruch{1/9}{(z-1)-2} +\bruch{1/3}{(z-3)^{2}}
[/mm]
Aber was hilft mir das??
Hoffe, es kommt nochmals Hilfe von euch!
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
)
