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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Di 26.04.2011 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | | Seien [mm] (X,\mathcal{A},\mu) [/mm] ein Maßraum, [mm] (Y,\mathcal{B}) [/mm] ein messbarer Raum und [mm] f:(X,\mathcal{A}) \to (Y,\mathcal{B}) [/mm] eine messbare Abbildung. Für B [mm] \in \mathcal{B} [/mm] definiere [mm] \nu [/mm] := [mm] \mu(f^{-1}(B)). [/mm] Zeige, dass [mm] \nu [/mm] ein Maß auf [mm] (Y,\mathcal{B}) [/mm] definiert. Dieses wird Bildmaß von [mm] \mu [/mm] genannt. |
hallihallo,
also ich hab mir zu der aufgabe folgendes rausgesucht,was ich zeigen sollte:
i) [mm] \nu(\emptyset)=0
[/mm]
ii) [mm] B_{1},B_{2},...\in \mathcal{B} [/mm] mit [mm] B_{i} \cap B_{j}=\emptyset [/mm] für [mm] i\not=j\Rightarrow \nu(\bigcup_{i}^{}B_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i}^{} \nu(B_{i})
[/mm]
aber mir fehlt trotzdem irgendwie der start.
für i) habe ich ja dann [mm] \nu(\emptyset)=\mu(f^{-1}(\emptyset))=0
[/mm]
worüber kann ich begründen,dass [mm] f^{-1}(\emptyset)=\emptyset?
[/mm]
danke schon mal.
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Huhu,
Rechenregeln für Urbilder solltest du für so eine Aufgabe schon selbst nachschlagen....
Was ist denn [mm] $f^{-1}(A)$ [/mm] ?
Was ist demzufolge [mm] $f^{-1}(\emptyset)$ [/mm] ?
Einfach mal Definition hinschreiben, dann stehts doch direkt da.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Di 26.04.2011 | | Autor: | simplify |
ah,ok.danke.
dann streichen wir einfach die frage zum urbild.
trotzdem bleibt noch ii) wo ich erst recht nicht weiter wusste,oder habe ich da auch etwas "simples" übersehen?
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Huhu,
ja auch da einfach Rechenregeln für Urbilder anwenden!
Insbesondere gilt:
[mm] $f^{-1}\left(\bigcup A_k\right) [/mm] = [mm] \bigcup f^{-1}(A_k)$ [/mm] und die Disjunktheit überträgt sich ebenso.
Mach dir das mal klar.
MFG,
Gono.
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