matrix in C < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:56 Do 03.06.2004 | | Autor: | Dine |
Hallo Ihr
Ich muss da so eine Aufgabe rechnen und ich komme einfach nicht auf das Ergebnis.Habe jetzt den ganzen Nachmittag daan gesessn und noch immer kein Ergebnis!
Die Aufgabe lautet: A = eine 2,2 Matrix. Die erste Zeile ist t 0.
Die 2. Zeile: 1 t.
Die Frage ist für welche t (element der komplexen Zahlen) es ein B (element der 2,2 Matrizen) gibt mit B mal B =A ?
Ich glaube das hat irgendwas mit dem charakteristischen Polynom uns den Eigenwerten zu tun! Muss man da die ganze Zeit rumprobiern, bis man ein passendes Ergebnis findet oder gibt es da auch eine einfaschere Methode??
Über Hilfe wäre ich sehr erfreut!!
MfG Dine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Fr 04.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Liebe Dine
ich weiss nicht, ob es eine elegante Lösung dafür gibt, aber einfaches Ausrechnen sollte sicher zum Ziel führen.
Ich stelle also einfach eine Matrix $B$ auf und quadriere diese. Ein Koeffizientenvergleich mit der Matrix $A$ führt dann zu einem Gleichungssystem, das ich nach den Koeffizienten von $B$ auflösen kann:
[mm] $B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $B*B=\begin{pmatrix}b_{11}^{2}+b_{12}b_{21}&b_{12}(b_{11}+b_{22})\\b_{21}(b_{11}+b_{22})&b_{12}b_{21}+b_{22}^{2}\end{pmatrix}$
[/mm]
Das Gleichungssystem sieht dann so aus:
[mm] $b_{12}(b_{11}+b_{22})=0$
[/mm]
[mm] $b_{21}(b_{11}+b_{22})=1$
[/mm]
[mm] $b_{11}^{2}+b_{12}b_{21}=t$
[/mm]
[mm] $b_{12}b_{21}+b_{22}^{2}=t$
[/mm]
Die 2. Gleichung verhindert, dass [mm] $b_{11}+b_{22}=0$ [/mm] ist, w3eshalb [mm] $b_{12}=0$ [/mm] sein muss (1. Gleichung).
Dies kann gleich in den übrigen Gleichungen eingesetzt werden, womit noch folgende Gleichungen übrigbleiben:
[mm] $b_{21}(b_{11}+b_{22})=1$
[/mm]
[mm] $b_{11}^{2}=t$
[/mm]
[mm] $b_{22}^{2}=t$
[/mm]
Die Letzten 2 Gleichungen bedeuten:
[mm] b_{11}=\pm b_{22}$
[/mm]
Die 1. Gleichung verhindert aber [mm] $b_{11}=-b_{22}$, [/mm] es bleibt also:
[mm] $b_{12}=0$
[/mm]
[mm] $b_{11}=b_{22}=\pm \wurzel{t}$ [/mm] (Beide Vorzeichen sind möglich)
[mm] $b_{21}=\bruch{1}{2\wurzel{t}}$ [/mm] (es muss das oben gewählte Vorzeichen genommen werden)
Nur die 3. Gleichung ergibt eine Einschränkung für $t$: $t [mm] \not [/mm] = 0$
Jetzt ist die Matrix $B$ also bestimmt und eine Bedingung für $t$ aufgestellt. Unbedingt nachzuprüfen ist noch, ob tatsächlich $B*B=A$ ist. 
Mit lieben Grüssen
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