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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - matrix konstr. B²=A
matrix konstr. B²=A < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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matrix konstr. B²=A: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:31 Di 09.02.2010
Autor: muhmuh

Aufgabe
Konstruieren SIe zu der folgenden MatrixA e [mm] R^{4x4} [/mm] eine Matrix B e [mm] R^{4x4} [/mm] mit [mm] B^{2} [/mm] = A

A= [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 &1 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1& 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 2 } [/mm]



Hallo!

Ich hab keine idee wie ich da dran gehen soll.
wenn ich eine unbekannte matrix * eine unbek.matrix = A setze komme ich auf extrem viele gleichungen, die gewiss lösbar wären, aber s geht bestimmt einfacher.

hab irgendwie im kopf A zu diagonalisieren

hab ich zur übung gemacht
udn da erhalte ich die Diagonalmatrix

D= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 } [/mm]

aber kann ich davon auf B kommen?

wenn ich [mm] b^{2}= [/mm] D setze
wäre B = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \wurzel{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \wurzel{2} } [/mm]

aber das ist gewiss nicht A

anderer weg?

danke für tips!

        
Bezug
matrix konstr. B²=A: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 Di 09.02.2010
Autor: angela.h.b.


> Konstruieren SIe zu der folgenden MatrixA e [mm]R^{4x4}[/mm] eine
> Matrix B e [mm]R^{4x4}[/mm] mit [mm]B^{2}[/mm] = A
>  
> A= [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 &1 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1& 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 2 }[/mm]
>  

> hab irgendwie im kopf A zu diagonalisieren

Hallo,

ja, das ist doch eine gute Idee.

Dann findest Du eine Matrix T mit  Diagonalmatrix (von unten) D= [mm] T^{-1}AT. [/mm]

Also ist [mm] A=TDT^{-1}=T \pmat{ 1 & 0 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \wurzel{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \wurzel{2} }T^{-1} T\pmat{ 1 & 0 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \wurzel{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \wurzel{2} }T^{-1}. [/mm]

Du warst also schon dicht dran.

Gruß v. Angela

>
> hab ich zur übung gemacht
>  udn da erhalte ich die Diagonalmatrix
>  
> D= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
>  
> aber kann ich davon auf B kommen?
>  
> wenn ich [mm]b^{2}=[/mm] D setze
> wäre B = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \wurzel{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \wurzel{2} }[/mm]
>  
> aber das ist gewiss nicht A
>  
> anderer weg?
>  
> danke für tips!


Bezug
                
Bezug
matrix konstr. B²=A: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:52 Di 09.02.2010
Autor: muhmuh

ich bin gerade etwas irritiert ueber deine aufschreibweise. (das [mm] irritiert mich etwas;))

hab gerade in meinem skript folgendes gefunden,

[mm] A=T*D*T^{-1} [/mm]
und [mm] A^{n}= T*D^{n}*T^{-1} [/mm]

hat das was damit zu tun?

das T ist bei uns im skript dann dadurch entstanden, dass man die eigenvektoren in eine matrix geschrieben hat.

soll ich das nun auch von der Matrix A machen?

bin gerade etwas durcheinander...

danke

gruss
muhmuh

Bezug
                        
Bezug
matrix konstr. B²=A: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:05 Di 09.02.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

ich schreibe dir nochmal Angela's Hinweise ohne [ mm ]:

$D = [mm] T^{-1}*A*T$. [/mm]

In T stehen die Eigenvektoren.
Weiter soll gelten:

$D = [mm] T^{-1}*B^{2}*T [/mm] = [mm] T^{-1}*B*(T*T^{-1})*B*T [/mm] = [mm] (T^{-1}*B*T)^{2}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow [/mm] B = [mm] T*\sqrt{D}*T^{-1}$ [/mm]

Du musst nun also nun erstmal komplett alles machen, was du sonst machen müsstest, um A zu diagonalisieren, also Eigenwerte und die Transformationsmatrix T bestimmen.
Dann kannst du B wie oben berechnen (Die Wurzel einer Diagonalmatrix ist die Matrix, in der bei der Diagonalmatrix von jedem Element die Wurzel gebildet wurde).

Grüße,
Stefan

Bezug
                                
Bezug
matrix konstr. B²=A: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:16 Di 09.02.2010
Autor: muhmuh

ok jetzt ist alles klar:)

danke!

Bezug
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