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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Fr 03.09.2004 | | Autor: | Johann.S |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt
Hi,
ich habe eine Aufgabe die folgender Maßen lautet:
Im [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] \IR^3 [/mm] sind durch folgende Vektoren jeweils eine Basis definiert:
b1= [mm] \vektor{0 \\ -1} [/mm] b2= [mm] \vektor{2 \\ 2}
[/mm]
c1= [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm] c2= [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1} [/mm] c3= [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] f:\IR^2 [/mm] auf [mm] \IR^3, [/mm] mit f:=(-2x-y/-2x+2y/2y)
a)Bestimmen sie die Matrix A von f bzgl. der Basen b1,b2 und c1,c2,c3
b)Bestimmen sie die Koordinaten von (3/9)bzgl. der Basis c1,c2,c3
Hab die Aufgabe folgendermaßen berechnet und wollte fragen ob der Weg so richtig ist oder nicht.
1. Matrix der Abbildung
M= [mm] \pmat{ -2 & -1 \\ -2 & 2 \\ 0 & 2}
[/mm]
1. Transfermatrix:
T1= [mm] \pmat{ 0 & 2 \\ -1 & 2 }
[/mm]
2. Transfermatrix:
T2= [mm] \pmat{ \bruch{1}{3} & \bruch{-1}{3} & 1 \\ \bruch{-1}{3} & \bruch{1}{3} & 0 \\ \bruch{5}{3} & \bruch{2}{3} & -2 }
[/mm]
Diese ist die inverse Matrix zu der "Basenmatrix" zu c1,c2,c3
Die Lösung dieser Aufgabe ist dann das Produkt aus den einzelen:
A=T2*M*T1
Kann man das so machen?
zu zweiten Aufgabenteil, hab ich einfach folgendes Gleichungsystem gelößt:
[mm] f(3/9)=x1\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+x2 \vektor{0 \\ 2 \\ 1}+x3 \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:31 Sa 04.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Johann!
Also, dein prinzipielles Vorgehen ist schon einmal richtig. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Jetzt zu den Details:
> ich habe eine Aufgabe die folgender Maßen lautet:
>
> Im [mm]\IR^2[/mm] und [mm]\IR^3[/mm] sind durch folgende Vektoren jeweils
> eine Basis definiert:
>
> b1= [mm]\vektor{0 \\ -1}[/mm] b2= [mm]\vektor{2 \\ 2}
[/mm]
> c1= [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> c2= [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 1}[/mm] c3= [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
>
>
> [mm]f:\IR^2[/mm] auf [mm]\IR^3,[/mm] mit f:=(-2x-y/-2x+2y/2y)
>
> a)Bestimmen sie die Matrix A von f bzgl. der Basen b1,b2
> und c1,c2,c3
> b)Bestimmen sie die Koordinaten von (3/9)bzgl. der Basis
> c1,c2,c3
Meinst du hier nicht:
...von [mm] $\red{f(3/9)}$ [/mm] bezüglich... ?
>
> Hab die Aufgabe folgendermaßen berechnet und wollte fragen
> ob der Weg so richtig ist oder nicht.
>
> 1. Matrix der Abbildung bezüglich der Standardbasis
>
> M= [mm]\pmat{ -2 & -1 \\ -2 & 2 \\ 0 & 2}
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 1. Transfermatrix:
>
> T1= [mm]\pmat{ 0 & 2 \\ -1 & 2 }
[/mm]
Es gilt also: $T2 = [mm] T_{{\cal E}_2}^{{\cal B}}$, [/mm] wobei [mm] ${\cal E}_2$ [/mm] die Standardbasis des [mm] $\IR^2$ [/mm] und [mm] ${\cal B}=(b1,b2)$ [/mm] sind.
> 2. Transfermatrix:
>
> T2= [mm]\pmat{ \bruch{1}{3} & \bruch{-1}{3} & 1 \\ \bruch{-1}{3} & \bruch{1}{3} & 0 \\ \bruch{5}{3} & \bruch{2}{3} & -2 }
[/mm]
Ich sehe nicht, dass das die Inverse von
[mm] $T_{{\cal E}_3}^{{\cal C}} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$,
[/mm]
wobei [mm] ${\cal E}_3$ [/mm] die Standardbasis des [mm] $\IR^3$ [/mm] und [mm] ${\cal C}=(c_1,c_2,c_3)$ [/mm] sind, ist.
So gilt ja zum Beispiel für das Element $(1,1)$ von [mm] $T_2 \cdot T_{{\cal E}_3}^{{\cal C}}$:
[/mm]
[mm] $\frac{1}{3}\cdot [/mm] 2 - [mm] \frac{1}{3} \cdot [/mm] 1 + 1 [mm] \cdot [/mm] 1 = [mm] \frac{4}{3} \ne [/mm] 1$.
Hier hast du dich also verrechnet.
> Diese ist die inverse Matrix zu der "Basenmatrix" zu
> c1,c2,c3
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") , siehe oben
> Die Lösung dieser Aufgabe ist dann das Produkt aus den
> einzelen:
>
> A=T2*M*T1
grundsätzlich: ,
denn
$A= [mm] M_{{\cal C}}^{{\cal B}}(f) [/mm] = [mm] T_{{\cal C}}^{{\cal E}_3} \cdot M_{{\cal E}_3}^{{\cal E}_2}(f) \cdot T_{{\cal E}_2}^{{\cal B}}$
[/mm]
und
[mm] $T_{{\cal C}}^{{\cal E}_3} [/mm] = [mm] \left( T_{{\cal E}_3}^{{\cal C}} \right)^{-1}$.
[/mm]
> Kann man das so machen?
Grundsätzlich ja. Nur neu rechnen solltest du. 
> zu zweiten Aufgabenteil, hab ich einfach folgendes
> Gleichungsystem gelößt:
>
> [mm]f(3/9)=x1\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+x2 \vektor{0 \\ 2 \\ 1}+x3 \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Das geht, ja, kann man machen. Aber warum umständlich, wenn es auch einfach geht?
Wir wissen ja, dass
[mm] $M^{{\cal E}_2}_{{\cal C}}(f) [/mm] = [mm] T_{{\cal C}}^{{\cal E}_3} \cdot M_{{\cal E}_3}^{{\cal E}_2}(f)$ [/mm]
gilt.
Und weiterhin:
[mm] $(f(3/9))_{{\cal C}} [/mm] = [mm] M^{{\cal E}_2}_{{\cal C}}(f) \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Also einfach eine Matrizenmultiplikation.
Daher macht man den ganzen "Spaß" mit der Basistransformation und den Transformationsmatrizen ja. Man will nicht jedes Mal Gleichungssysteme lösen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Sa 04.09.2004 | | Autor: | Johann.S |
Hi,
Vielen Danke für die Hilfe und sehr schöne "Daumen hoch/runter"
das mit den rechenfehlern krieg ich dann schon noch hin
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