matrixen Operationen zeigen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Di 24.05.2005 | | Autor: | Freak84 |
Hey leute ich sitz gerade an meinem Übungszettel und hab keinen plan bei der einen Nummer
Man zeige , dass die Operationen 1 2 3 für eine (m x n)-Matrix A durch Matrixmultiplikation mit (m x m)-Matrix [mm] E_{i} [/mm] erhalten werden können
A [mm] \to E_{i} [/mm] A. Man gebe die Elementagmatrizen [mm] E_{i} [/mm] an und ihre Inversen!
1 ) < [mm] a_{1},...,a_{i},....,a_{n}> \to [/mm] < [mm] a_{1},..., \alpha a_{i},....,a_{n}>
[/mm]
2 ) < [mm] a_{1},...,a_{i},....,a_{j},...,a_{n}> \to [/mm] < [mm] a_{1},..., a_{i}+a_{j},....,a_{j},...,a_{n}>
[/mm]
3 ) < [mm] a_{1},...,a_{i},....,a_{j},...,a_{n}> \to [/mm] < [mm] a_{1},..., a_{j},....,a_{i},...,a_{n}>
[/mm]
Vielen Dank
Michael
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Hallo!
Ich vermute mal, dass du mit [mm] $a_i$ [/mm] die Zeilen von $A$ meinst, oder?
Versuch erstmal, diese Matrizen für den Spezialfall [mm] $A=\mathrm{id}$ [/mm] zu finden! So hast du zumindest schon mal eine Idee, was die richtige Wahl für die Elementarmatrizen sein könnte.
Das das dann auch die richtige Matrix ist, zeigt sich mit folgendem Trick: Du berechnest [mm] $e_k^T [/mm] E_iA$...
Kommst du damit weiter? Wenn du mehr Tipps brauchst, helfe ich dir gerne weiter...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Di 24.05.2005 | | Autor: | Freak84 |
Danke erstmal
Ich habe nur noch nicht ganz verstanden was er mit Elemantarmatrix eigendlich meint ich stelle mir vor, dass das die Matrix ist mit [mm] a_{ii} [/mm] = 1 und der rest 0 also die Zeilennormalform aber das ergibt irgendwie keinen sinn oder bin ich da gerade ganz falsch.
Und was meinst du mit dem Spezialfall soll ich eine Matrix finden die bei der Multiplikation das neutrale Element darstellt oder wie ? wegen A = id ??
vielen dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Di 24.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Michael!
Rechne mal
[mm] $E_i \cdot \pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} &\ a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}}$
[/mm]
aus für
[mm] $E_1= \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 &0 & 1}$,
[/mm]
[mm] $E_2= \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &0 & 1}$
[/mm]
und
[mm] $E_3= \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 &0 &0}$.
[/mm]
Was stellst du fest?
Kannst du damit deine Aufgabe jetzt (allgemein) lösen?
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Di 24.05.2005 | | Autor: | Freak84 |
Danke Steffan für den Tip aber ich verstehe ganz und gar nicht was ich mit den 4 matrizen machen soll du hast mir eine allgemeine gegeben und dann noch die 4 speziellen soll ich jetzt einfach die allgemeine mit der speziellen multiplizieren und gucken ??
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Di 24.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Freak84,
du mit der Zeile [mm] $E_i \cdot [/mm] A$ (die Matrix $A$ schreibe ich jetzt nicht aus) meint Stefan, dass du die vier Produkte [mm] $E_1 \cdot [/mm] A$, [mm] $E_2 \cdot [/mm] A$, [mm] $E_3 \cdot [/mm] A$ und [mm] $E_4 \cdot [/mm] A$ berechnen sollst.
Wenn du die entsprechenden Produkte berechnet hast wirst du hoffentlich einen Ansatz zur Beantwortung der Frage haben.
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Freak84 |
Vielen Dank das Schema habe ich jetzt verstanden nur ich bekomm es nicht gebacken allgemein aufzuschreiben.
Kannst du mir vielleicht mal ein Beispiel gebene
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Do 26.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
wenn deine Aufgabe wäre eine 15x16 Matrix so zu berechnen, würdest du dann jede Zeile/Spalte einzelt berechnen?
ich denke nicht : der trick ist zu sehen, dass man das nur exemplarisch für eine Zeile/Spalte machen muss, die sich nicht verändert (dann aber über allgemein über m bzw n) und zusätzlich für die Spalte/Zeile, die sich verändert - du musst also nur zwei Spalten allgemein ausrechnen !
Poste doch mal deine Ansätze, also sei A eine mxn Matrix und [mm] E_1 [/mm] wie bei Stefan nur eben mxm und in der i-ten Zeile das Alpha - wie sieht dann die i-te Spalte des Ergebnisses aus? und wie eine (und damit alle) anderen?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Do 26.05.2005 | | Autor: | bravo |
Hatte mich mit der gleichen Aufgabe beschäftigt und dabei gefragt, ob eine allgemeine Antwort nötig ist. Im Gespräch mit anderen, bekam ich zu hören, dass man sich nur um die untersuchten Beispiele kümmern brauche. D.h. einfach eine Matrix A wählen und dann wie auch in den Beiträgen davor beschrieben die [mm] E_i [/mm] bestimmen,mit den dazu gehörigen Inversen. Allerdings bin ich mir damit nicht so sicher, da in der Aufgabe ja steht "Man zeige..." und ein Beispiel kein Beweis ist,sondern eben nur ein Fall in dem es funktioniert hat.
Außerdem wüsste ich gerne, egal ob gefragt oder nicht, wie man beweisen kann, dass die Gültigkeit für eine z.B. (4x3) - Matrix A auch für eine (5x3) - Matrix B weiter gilt. Ein mögliches Beweisverfahren ist vielleicht die Induktion. Aber wie die hier drauf anzuwenden ist, ist mir gerade nicht einsichtig.
Ich bin jedem dankbar für eine Antwort.
ps.: Mein nick "bravo" mag sich arrogant anhören, ist aber mein nachnahme und keineswegs so gemeint.
Grüsse Sebastian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Do 26.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Sebastian, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Die Aufgabenstellung ist eindeutig und sagt, dass man dies für allgemeine mxn Matrizen beweisen soll.
Die Beweise sind aber genauso einfach (oder schwer) wie irgendein Spezialfall 5x4 oder so. Man mache sich nur mal die Matrizenmultiplikation an den von Stefan gegebenen Beispielen klar. Wenn man jetzt allgemein in einer mxn Matrix die i-te Spalte mit [mm] \alpha [/mm] multipliziert haben möchte, wo muss dann das [mm] \alpha [/mm] in der mxm Matrix von Stefan stehen?
Wenn man das hat geht der Beweis so : betrachte alle normalen Spalten bzw. Zeilen (das sind die, die sich nicht verändern) und man mache sich klar, dass es hier nicht auf den Index der Spalte ankommt - es ist also egal, ob du die j-te Spalte oder die k-te Spalte betrachtest (solange j und k nicht gleich i ist)
und dann betrachte man noch die Spalte bzw. Zeile, die sich verändert.
Man erhält dann das gewünschte Ergebnis...
Schreibt das doch einfach mal auf - wir wollen hier schließlich auch ein bischen euren Interesses sehen.
Also: sei A eine mxn Matrix, für 1) wähle man [mm] E_i [/mm] =... , dann ergibt sich für alle Spalten $ [mm] j\not= [/mm] i $ , dass und für die Spalte i gilt ...
Wenn ihr das hier mal so versucht, dann kann man näher darauf eingehen.
btw: einen Weg über Induktion macht nicht viel Sinn, außer es ebenso zu machen (oder besser gesagt: Ich wüsste nicht, wie es mit Induktion gehen soll.)
viele grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 Do 26.05.2005 | | Autor: | bravo |
Danke DaMenge,
habe eben deine Antwort gelesen und sehe es ein, dass eine Induktion, sofern sie überhaupt möglich ist, viel zu umständlich wäre.
Wie man nun die allgemeine Lösung zu schreiben hat, ist einleuchtend und sollte keiner weiteren Beiträge bedürfen. Auch bin ich der Meinung, dass man das komplette Lösen der Aufgabe dem Interessenten überlassen sollte und nicht mehr in den Matheraum stellt.
Da ich mich noch nicht so gut im Matheraum auskenne, bitte ich um Korrektur, sollte meine Meinung so nicht richtig sein.
Wünsche allen, die noch mit Aufgaben beschäftigt sind, eine schnelle Lösung, um das sonnige Wetter drausen noch genießen zu können.
Gruß Sebastian
Die Langeweil,
ist der auf die Zeit verteilte Schmerz.
(Leonce und Lena)
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