matrizen und positive definitheit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:36 Di 18.05.2004 | | Autor: | calypso_bob |
Es sei A eine reelle quadratische (n × n)-Matriz. Beweisen oder widerlegen
Sie:
(1) Ist A regulär, dann ist [mm] A^{T}A (A^T [/mm] ist transponierte Matrix von A) symmetrisch und positiv definit.
(2) Ist A symmetrisch und positiv definit, dann ist [mm] A^{-1}(Inverses) [/mm] symmetrisch und positiv definit.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Di 18.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo calypso_bob,
so ganz ohne Begrüßung, ohne Frage und vor allem: ohne eigene Ansätze, das entspricht nicht dem hohen Niveau dieses Forums.
Nichtsdestotrotz gebe ich dir ein paar Tipps:
> Es sei A eine reelle quadratische (n × n)-Matriz. Beweisen
> oder widerlegen
> Sie:
> (1) Ist A regulär, dann ist [mm] A^{T}A (A^T [/mm] ist transponierte
> Matrix von A) symmetrisch und positiv definit.
Wegen
[mm] $(A^TA)^T [/mm] = [mm] A^T (A^T)^T [/mm] = [mm] A^T [/mm] A$
ist [mm] $A^T [/mm] A$ symmetrisch.
Zur positiven Definitheit:
Wir müssen zeigen, dass für $x [mm] \ne [/mm] 0$ die Beziehung
$x^TA^TAx > 0$
gilt.
Nun ist aber:
[mm] $x^T [/mm] A^TAx = [mm] (Ax)^T [/mm] Ax = [mm] \Vert [/mm] Ax [mm] \Vert^2 [/mm] >0$
für $x [mm] \ne [/mm] 0$, wobei
[mm] $\Vert [/mm] y [mm] \Vert [/mm] = [mm] \sqrt{y^Ty}$
[/mm]
die euklidische Norm ist.
> (2) Ist A symmetrisch und positiv definit, dann ist
> [mm] A^{-1}(Inverses) [/mm] symmetrisch und positiv definit.
Hier wollen wir erst einmal eigenen Ansätze und Ideen von dir sehen. Anschließend geht es dann weiter, dann beantworten wir dir gerne deine Fragen und helfen dir.
Liebe Grüße
Julius
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