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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Fr 20.05.2005 | | Autor: | test3r |
Hallo,
ich habe einProblem beim lösen einer Aufgabe. Ich habe den Graphen [mm] \bruch{ln(x)^{2}}{x} [/mm] an dem eine Tangente durch den Punkt P(x;f(x)) gehen soll (1<x<e). Die Tangente bildet dann mit den Achsen des koordinatenkreuzes ein Dreieck. Zu bestimmen ist x so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird.
Die Grenzwerte kann ich bereits ausschließen, diese x Werte sind es nicht. Ich habe eine Tangentengleichung der folgenden Art aufgestellt. t(z)=f'(x)*z+f(x)-f'(x)*z. Eingesetzt erhalte ich also t(f(x))=f'(x)*f(x)+f(x)-f'(x)*f(x). Löse ich diese weiter auf, um den Tangentenschnittpunkt mit der X-Achse zu bekommen, ist die Funktion nicht definiert. Unterscheide ich die Punkte z und x nicht, erhalte ich zwar ein Ergebnis (~1,64...) dieses stimmt aber nicht. Ich hoffe mir kann einer weiterhelfen.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo test3r,
dir ein herzliches
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich würde dir empfehlen den Berührpunkt nicht mit $(x|f(x))$ sondern mit $(a|f(a))$ zu bezeichnen, dann wird es nicht so verwirrend.
Die Tangente ist eine Gerade mit Steigung $m=f'(a)$ durch den Punkt $(a|f(a))$, benutzt man die Punkt-Steigungsform der Geraden erhält man:
[mm] $t_a(x)=f'(a)\cdot(x-a)+f(a)$
[/mm]
Die Schnittpunkte von [mm] $t_a$ [/mm] mit den Koordinatneachsen erhälst du über [mm] $t_a(0)$ [/mm] bzw. [mm] $t_a(x)=0$. [/mm] Da die Abschnitte zueinander orthogonal sind, kannst du diese Abschnitte direkt als Höhe und Grundseite für das Dreieck verwenden.
Diesen Flächneinhalt in Abhängigkeit des Parameters $a$ musst du jetzt noch maximieren!
Versuch mal die Zwischenschritte zu füllen
Gruß Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:56 Sa 21.05.2005 | | Autor: | test3r |
Hallo,
ich möchte mich recht herzlich bedanken, jetzt bekomme ich das richtige Ergebnis heraus. Hatte selbst einen Fehler bei der Ableitung des y-Achsenabschnittes bzw. Flächenformel gmacht, daher stimmte das Ergebnis auch nicht. Jetzt komm ich auch auf die 1.465162 für x. Anstatt
die ganze Sache mit der 2-Punkt-Steigungsform zu machen, hatte ich die Formel erst mit der unbekannten b aufgelöst (y=mx+b) und dann hat sich da ein Fehler bei b eingeschlichen, naja, ich hab ihn ja gefunden. Nochmals Danke
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