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| Aufgabe | gegeben ist die Funktionenschar f (x) = 1/8 t [mm] x^3 [/mm] - 1,5 t [mm] x^2 [/mm] +4,5 t x
bei t= 1 ergibt sich die Funktionsgleichung f(x) = 1/8 [mm] x^3 [/mm] -1,5 [mm] x^2 [/mm] + 4,5 x
gesucht ist die max. Fläche des Dreieckst, welches sich aus der x-Achse, dem Graph der Funktion und der Gerade x=u ergibt.
es gilt weiter: 0<u<6
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe die Funktion schon 'diskutiert' und gezeichnet, die Nullstellen liegen bei x= 0 und x=6; Hochpunkt bei x= 2 und Tiefpunkt bei x=6, Wendestelle bei x=4 ....
Leider habe ich bisher noch nie eine Extremwertaufgabe bearbeitet und kann in meinen Büchern auch nichts finden, was ich auf dieses 'Dreiecksproblem' anwenden kann. Ich vermute mal es hat was mit Integration zu tun.
Wer kann mir hier auf die Sprünge helfen ???
Gruss Nefe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Sa 25.03.2006 | | Autor: | Fugre |
> gegeben ist die Funktionenschar f (x) = 1/8 t [mm]x^3[/mm] - 1,5 t
> [mm]x^2[/mm] +4,5 t x
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> bei t= 1 ergibt sich die Funktionsgleichung f(x) = 1/8 [mm]x^3[/mm]
> -1,5 [mm]x^2[/mm] + 4,5 x
>
> gesucht ist die max. Fläche des Dreieckst, welches sich aus
> der x-Achse, dem Graph der Funktion und der Gerade x=u
> ergibt.
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> es gilt weiter: 0<u<6
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe die Funktion schon 'diskutiert' und gezeichnet,
> die Nullstellen liegen bei x= 0 und x=6; Hochpunkt bei x= 2
> und Tiefpunkt bei x=6, Wendestelle bei x=4 ....
>
> Leider habe ich bisher noch nie eine Extremwertaufgabe
> bearbeitet und kann in meinen Büchern auch nichts finden,
> was ich auf dieses 'Dreiecksproblem' anwenden kann. Ich
> vermute mal es hat was mit Integration zu tun.
>
> Wer kann mir hier auf die Sprünge helfen ???
>
> Gruss Nefe
Hallo Nefe,
also mit Integration hat das nichts zu tun.
Du musst dir ein Dreick vorstellen, das rechtwinklig ist, einen
Punkt $C$ auf dem Graph, einen $A$ im Ursrpung und einen $B$ auf Höhe
von $C$ auf der x-Achse.
Den Flächeninhalt des Dreiecks berechnest du mit der allgemeinen Formel
[mm] $A=\frac{1}{2}g*h$ [/mm] wobei hier $u$ die Grundseite ist und $f(u)$ die Höhe.
Somit ergibt sich:
[mm] $A(u)=\frac{1}{2}*u*f(u)$ [/mm] und muss noch auf Extrema untersucht werden.
Gruß
Nicolas
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Danke Nicolas,
soweit leuchtet mir das ein zwar ein, aber es hilft mir irgendwie nicht weiter ... außerdem habe ich vermutlich einen Fehler gemacht in der Aufgabestellung: KONKRET STEHT DA.
Die Gerade x=u schneidet die x-Achse in dem Punkt Q und den Graphen der Funktion in dem Punkt P; der Koordinatenursprung ist der Punkt O.
Für welche der Geraden x=u hat das Dreieck OQP den maximalen Flächeninhalt?
Ich versteh´s nicht
wenn da steht x=u würde ich denken, ich habe es mit einer linearen Funktions, also Geraden zu tun, also f(x) = u;
damit hätten wir eine Gerade durch den Koordinatenursprung,
wenn ich dann den Schnittpunkt der Geraden mit dem Graphen und die x-Achse 'optimal' verbinde (was übrigens der WEndetangente entspricht, wenn ich mich nicht täusche), dann sieht das meiner Meinung nach nach dem größtmöglichen Dreieck innerhalb des Graphens aus.
Aber wie kann ich das mathematisch festhalten, bzw. errechnen.?
Gruss Nefe
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vergeßt es, dass war wohl auch quatsch ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Sa 25.03.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Nefe
1. Die gerade x=u ist keine Ursprungsgerade, sondern ne parallele zur y-Achse durch x=u. also durch (u,0)
damit ist hat die eine Kathete des Dreiecks die Länge u, die andere Kathete, die bis zum Graphen hoch geht die Länge f(u) also Fläche A=1/2*u*f(u).
Nach u differenzieren und so max suchen!
(übrigens: f(x)=u ist auch keine Ursprungsgerade, sondern y=u also ne Parallele zur x-Achse durch (0.u))
Gruss leduart.
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erstmal danke ...
mal schauen ob ich das jetzt verstanden habe ... hab sowas wie gesagt noch nie gemacht ... im übrigen war mein erster Gedanke auch der, das x=u parallel zur y-Achse verläuft; wär ich mal dabei geblieben :)
also:
muss ich A als Funktion betrachten, sprich A= 1/2 * u * (1/8 [mm] u^3 [/mm] -1,5 [mm] u^2 [/mm] +4,5 u) = 1/16 [mm] u^4 [/mm] -3/4 [mm] u^3 [/mm] +9/4 [mm] u^2
[/mm]
und dann von dieser Funktion über die zweite Ableitung die erste Ableitung der Funktion (1/4 [mm] u^3 [/mm] - 9/4 [mm] u^2 [/mm] + 9/2 u) das Maximum berechnen ?
nefe
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das mit der zweiten Ableitung gehört da natürlich nicht rein :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Sa 25.03.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Nefe
Ja, und die 2. Ableitung zur Kontrolle, obs wirklich ein Max ist.
Gruss leduart
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