maximale Strecke Kurve-Gerade < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist
[mm] f(x)=(\bruch{x}{t})^{-1}+cos(\bruch{x}{t}) ;x\in[-t\pi; t\pi]
[/mm]
K ist das Schaubild von f.
Die Tangente an K im Ursprung ist g.
Die Gerade mit der Gleichung x=u [mm] (0 |
Hallo,
ich habe ein paar Probleme zu dieser Aufgabe
Und zwar habe ich folgendes berechnet:
1. Tangentenformel:
Dazu habe ich mir überlegt, dass es einen gemeinsamen Punkt R (x/y) gibt.
Und die Tangente in der Form y=mx sein muss (b=0 da sie durch den Ursprung geht)
Es fehlt also nur noch m und das ist die 1.Ableitung von f:
[mm] f'(x)=m=\bruch{-\pi*sin(\bruch{x}{t})}{180*t}-\bruch{t}{x^2}
[/mm]
=>Demnach lautet die Tangentengleichung:
[mm] y=m=(\bruch{-\pi*sin(\bruch{x}{t})}{180*t}-\bruch{t}{x^2})*x
[/mm]
Stimmt das so wie ich das gerechnet habe?
Zur Kontrolle wollte ich nämlich die Koordinaten ermitteln, nur kriege ich dafür keine richtige Lösung beim Gleichsetzen.
2.längste Strecke zwischen g und t ermitteln => d
Hier komme ich leider überhaupt nicht weiter.
Könnte die Zielfunktion sein:
[mm] f=\bruch{x}{t}^{-1}+cos(\bruch{x}{t})-(\bruch{-\pi*sin(\bruch{x}{t})}{180*t}-\bruch{t}{x^2})*x [/mm] (Also die Differenzen zwischen den x- und y- Koordinaten)
Aber weiter komme ich hier leider auch nicht.
Vielleicht findet sich hier jemand der mir ein bisschen weiterhelfen kann, das wäre wirklich sehr nett.
Viele Grüße,
Anna
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Nun, du sagts, daß die Grade doch durch den Ursprung geht. Also ist die Grade tatsächlich y=mx. Es gilt m=f'(x), allerdings eben für x=0, also m=f'(0).
Dann verschwindet auch das x aus der Steigung!
Zum Abstand: Die Grade x=u ist eine senkrechte Grade bei x=u! Jetzt wird das u gesucht, für den der Abstand der Schnittpunkte extremal wird. Das heißt in diesem fall also einfach, daß die Differenz der y-Werte extremal werden soll, also (f(x)-mx)'=f'(x)-m=0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Fr 26.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Anna
Eine Tangente im Ursprung an K kann es nicht geben. fuer x =0 ist f nicht definiert, bzw. hat einen Pol.
Wenn deine Aufgabe hiesse: Die Tangenten an K, die durch den Urspr. gehen dann waer die Aufgabe moeglich. Aber auch dann solltest du die Kurve z. Bsp fuer t=1 mal plotten.
Irgendwas an der Aufgabenstellung muss falsch sein, bitte kontrollier noch mal!
> Gegeben ist
> [mm]f(x)=(\bruch{x}{t})^{-1}+cos(\bruch{x}{t}) ;x\in[-t\pi; t\pi][/mm]
>
> K ist das Schaubild von f.
> Die Tangente an K im Ursprung ist g.
> Die Gerade mit der Gleichung x=u [mm](0
> Tangente g im Punkt P und die Kurve K im Punkt Q. Berechnen
> Sie u so, dass die Länge der Strecke d(P;Q) ein absolutes
> Maximum annimmt und geben Sie dieses Maximum an.
> Hallo,
>
> ich habe ein paar Probleme zu dieser Aufgabe
>
> Und zwar habe ich folgendes berechnet:
>
> 1. Tangentenformel:
> Dazu habe ich mir überlegt, dass es einen gemeinsamen
> Punkt R (x/y) gibt.
> Und die Tangente in der Form y=mx sein muss (b=0 da sie
> durch den Ursprung geht)
> Es fehlt also nur noch m und das ist die 1.Ableitung von
> f:
>
> [mm]f'(x)=m=\bruch{-\pi*sin(\bruch{x}{t})}{180*t}-\bruch{t}{x^2}[/mm]
> =>Demnach lautet die Tangentengleichung:
Deine Ableitung versteh ich nicht ganz! warum die [mm] \pi [/mm] ?
Die Ableitung bei x=x1 ist:
f'(x1)= [mm] -\bruch{t}{x1^2} -\bruch{1}{t}*sin(\bruch{x1}{t}
[/mm]
> [mm]y=m=(\bruch{-\pi*sin(\bruch{x}{t})}{180*t}-\bruch{t}{x^2})*x[/mm]
damit eine Tangente durch 0,0 mit der Steigung:
y=mx
damit die Gerade durch x1,f(x1) geht muss m auch f(x1)/x1 sein:
also
[mm] -\bruch{t}{x1^2} -\bruch{1}{t}*sin(\bruch{x1}{t}=(\bruch{x1}{t})^{-1}+cos(\bruch{x1}{t})/x1
[/mm]
daraus x1 bestimmen
> Stimmt das so wie ich das gerechnet habe?
Du hast keine wirklichen Fehler gemacht, nur den bestimmten Punkt x1,f(x1) und die laufende Variable x durcheinander gebracht.
> Zur Kontrolle wollte ich nämlich die Koordinaten
> ermitteln, nur kriege ich dafür keine richtige Lösung beim
> Gleichsetzen.
Das ist der richtige Weg, um ne Tangente nicht im Ursprung, sondern durch den Urspr. zu finden.
> 2.längste Strecke zwischen g und t ermitteln => d
> Hier komme ich leider überhaupt nicht weiter.
>
> Könnte die Zielfunktion sein:
>
> [mm]f=\bruch{x}{t}^{-1}+cos(\bruch{x}{t})-(\bruch{-\pi*sin(\bruch{x}{t})}{180*t}-\bruch{t}{x^2})*x[/mm]
> (Also die Differenzen zwischen den x- und y- Koordinaten)
Hier wieder in die Tangente x=u einsetzen, ergibt den Punkt u,t(udann u in f einsetzen: Q= u,f(u)
Differenz f(u)-t(u) soll maximal werden.
Gruss leduart
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Hallo,
vielen Dank schonmal für eure Antworten.
Ich habe allerdings noch einige Fragen.
1. Die Aufgabe sollte so formuliert sein, dass nur die Tangente durch den Ursprung geht, nicht die Funktion (was ja auch überhaupt nicht möglich ist).
Von daher ist der Punkt (0/0) auch nicht als Berührpunkt gemeint.
2. Was heißt Plotten?
3.Ich habe die Ableitung von f'(x) mit dem TI. Von daher müsste das mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit auch richtig sein mit dem /pi.
$ [mm] f'(x)=m=\bruch{-\pi\cdot{}sin(\bruch{x}{t})}{180\cdot{}t}-\bruch{t}{x^2} [/mm] $
Du hast folgendes gleichgesetzt um den Brührpunkt zu ermitteln:
$ [mm] -\bruch{t}{x1^2} -\bruch{1}{t}\cdot{}sin(\bruch{x1}{t}=(\bruch{x1}{t})^{-1}+cos(\bruch{x1}{t})/x1 [/mm] $
Nur hier verstehe ich nicht, woher du das /x1 her hast (ganz rechts)?
Und dann hast du ja auch nicht bei der Geradengleichung Mal x gemacht sondern nur m mit f'(x) gleichgesetzt.
Die Geradengleichung muss doch heißen, y=mx, also
[mm] =>g(x)=(\bruch{-\pi\cdot{}sin(\bruch{x}{t})}{180\cdot{}t}-\bruch{t}{x^2})*x
[/mm]
Ich habe also auch die Gerade mit der Funktion gleichgesetzt:
[mm] (\bruch{-\pi\cdot{}sin(\bruch{x}{t})}{180\cdot{}t}-\bruch{t}{x^2})*x [/mm] = [mm] (\bruch{x}{t})^{-1}+cos(\bruch{x}{t}) [/mm]
Und mein Taschenrechner zeigt mir dann als Lösung für x etwas recht seltsames an:
[mm] 180*x^2*cos(x/t)*t+/pi*x^2*sin(x/t)+180*(x+1)*t^2=0
[/mm]
Also, es wäre vielleicht gut, wenn ihr mir sagen könntet, was ich falsch mache.
Denn da ich nun gar keine Tangentengleichung habe, kann ich überhaupt nicht mit der 2.Aufgabenstellung, dem Extremwertproblem, anfangen.
Liebe Grüße,
Anna
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Hallo AnnaKuban88,
Mir kommt die Aufgabe immer noch komisch vor. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Sollst du wirklich mit Parameter t alles durchrechnen?
In welchem Zusammenhang (Schule - Uni) steht diese Aufgabe?
> vielen Dank schonmal für eure Antworten.
>
> Ich habe allerdings noch einige Fragen.
>
> 1. Die Aufgabe sollte so formuliert sein, dass nur die
> Tangente durch den Ursprung geht, nicht die Funktion (was
> ja auch überhaupt nicht möglich ist).
>
> Von daher ist der Punkt (0/0) auch nicht als Berührpunkt
> gemeint.
>
> 2. Was heißt Plotten?
>
> 3.Ich habe die Ableitung von f'(x) mit dem TI. Von daher
> müsste das mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit auch richtig
> sein mit dem /pi.
>
> [mm]f'(x)=m=\bruch{-\pi\cdot{}sin(\bruch{x}{t})}{180\cdot{}t}-\bruch{t}{x^2}[/mm]
Hast du hier dem TR mitgeteilt, dass er im Bogenmaß rechnen soll?
Modus: RAD statt DEG ; ich habe keinen TI, aber man wird es einstellen können.
Nur so kann ich mir den Bruch [mm] \frac{\pi}{180} [/mm] erklären.
>
> Du hast folgendes gleichgesetzt um den Brührpunkt zu
> ermitteln:
>
> [mm]-\bruch{t}{x1^2} -\bruch{1}{t}\cdot{}sin(\bruch{x1}{t}=(\bruch{x1}{t})^{-1}+cos(\bruch{x1}{t})/x1[/mm]
>
> Nur hier verstehe ich nicht, woher du das /x1 her hast
> (ganz rechts)?
> Und dann hast du ja auch nicht bei der Geradengleichung
> Mal x gemacht sondern nur m mit f'(x) gleichgesetzt.
>
> Die Geradengleichung muss doch heißen, y=mx, also
>
> [mm]=>g(x)=(\bruch{-\pi\cdot{}sin(\bruch{x}{t})}{180\cdot{}t}-\bruch{t}{x^2})*x[/mm]
Aufpassen! du darfst [mm] x_1 [/mm] nicht mit x in einem Topf werfen!
>
>
> Ich habe also auch die Gerade mit der Funktion
> gleichgesetzt:
>
> [mm](\bruch{-\pi\cdot{}sin(\bruch{x}{t})}{180\cdot{}t}-\bruch{t}{x^2})*x[/mm]
> = [mm](\bruch{x}{t})^{-1}+cos(\bruch{x}{t})[/mm]
>
> Und mein Taschenrechner zeigt mir dann als Lösung für x
> etwas recht seltsames an:
>
> [mm]180*x^2*cos(x/t)*t+/pi*x^2*sin(x/t)+180*(x+1)*t^2=0[/mm]
>
> Also, es wäre vielleicht gut, wenn ihr mir sagen könntet,
> was ich falsch mache.
Mir kommt das eigentlich sehr vernünftig vor, was du so rechnest.
Aber diese Gleichung da oben kann ich auch nicht so ohne weiteres lösen. ![[traurig]](/images/smileys/traurig.gif "[traurig]")
>
> Denn da ich nun gar keine Tangentengleichung habe, kann ich
> überhaupt nicht mit der 2.Aufgabenstellung, dem
> Extremwertproblem, anfangen.
Aber vielleicht braucht man den Berührpunkt der Tangente nicht wirklich.
Die Punkte P und Q liegen ja übereinander auf der Geraden x=u, also kannst du deren Koordinaten "bestimmen" (jedenfalls teilweise).
Ich würde die Aufgabe zunächst mal für t=1 oder [mm] t=\frac{1}{\pi} [/mm] rechnen, damit sie "überschaubarer" wird. 
Gruß informix
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Hallo informix,
ja ich soll diese Aufgabe mit Parameter t durchrechnen.
die Aufgabe geht von einem Gymnasium, 13.Klasse, aus und ist eine Hausaufgabe in Mathe.
Aber ich denke du hast Recht, man sollte vielleicht das ganze erstmal mit t=1 ausrechnen. Danke für den Tipp! 
Ich schreibe dann nochmal, ob es dann wenigstens eine sinnvolle Lösung gibt.
Liebe Grüße,
Anna
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Hallo,
also ich habe jetzt die Tangentengleichung für t=1 berechnet und diese lautet:
[mm] g(x)=(\bruch{-/pi*sin(x)}{180}-\bruch{1}{x^2})*x
[/mm]
Diese Tangentengleichung habe ich mit dem TI berechnet und auch als Graphik überprüfen lassen und sie stimmt.
Nun komme ich aber wieder nicht weiter mit der Extremwertaufgabe:
Denn es ist ja die längste Strecke zwischen f und g gesucht, also die Differenz ihrer y-Koordinaten:
Zielfunktion
y2=((f(x)-mx))'
Stimmt dieser Ansatz?
Was mich nämlich irritiert ist, dass auf der Graphik meines TI's die Entfernung zwischen f ung g bis ins unendliche läuft.
Ist dann die Lösung einfach [mm] x=\infty?
[/mm]
Liebe Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Sa 27.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Anna
es muss ein Fehler in deiner Aufgabenstellung sein
Du hast voellig recht, bei der gegebenen Fkt. wird der Abstand fuer u gegen 0 unendlich.
Sinn macht die Aufgabe, wenn du f(x)= x/t +cos(x/t) haettest.
Sieh doch nochmal sehr genau die urspruenglich gegebene Funktion an!
Aber zusaetzlich: egal, was dein TI sagt: wenn man cos(x) als Funktion betrachtet, dann wird x immer im bogenmass betrachtet. Deshalb machen die 180 keinen Sinn.
und die Ableitung von cos x ist -sinx also (cos(x/t)' =-1/t*sin(x/t)
2. Eine Tangente ist ne gerade, also kann in ihr nicht [mm] x^2 [/mm] vorkommen, nur ausser x Zahlen, also x1 usw.
Gruss leduart
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Hallo,
also wegen der Tangentengleichung stimmt das nicht mit [mm] x^2, [/mm] da die Formel eingeklammert ist. Würde man die Klammern auflösen wäre da auch nur noch x.
Außerdem verstehe ich nicht wie du das meinst, dass f(x)= x/t +cos(x/t) sinnvoll wäre.
Das wäre erst Recht nicht sinnvoll, da dies eine Gerade ist und von einer Geraden ist, dememsprechend gibt es dann auch keine Tangente.
Ich danke euch schonmal vielmals für eure Hilfe. Ich frage meinen Lehrer nochmal nächste Woche, wie die Aufgabe richtig gemeint war.
Bis dahin (also auch noch nächste Woche) würde ich mich über jede Hilfe freuen,
Viele Grüße,
Anna
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Hallo,
ich habe mich vorhin verschrieben. Die richtige Tangente (mit t=1 in f) ist g(x)=0,25x.
Zu der Gleichung $ [mm] g(x)=(\bruch{-/pi\cdot{}sin(x)}{180}-\bruch{1}{x^2})\cdot{}x [/mm] $
Ich habe die Steigung m = f'(x) einfach in y=mx eingesetzt.
Jetzt nochmal vielleicht eine Frage nebenbei:
Was ist das dann eigentlich, was ich da berechnet habe dieses $ [mm] g(x)=(\bruch{-/pi\cdot{}sin(x)}{180}-\bruch{1}{x^2})\cdot{}x [/mm] $?
Liebe Grüße,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Sa 27.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. [mm] f(x)=\bruch{x}{t}+cos(\bruch{x}{t}) [/mm] ist sicher keine Gerade sondern ne recht "krumme" Funktion.
2. Wie hast du die Tangente denn gefunden?
Ich finde 3 Tangenten von 0 an die Kurve in dem angegebenen Bereich!
3. f'(x) gibt die Steigung von f am Punkt x an . y=mx ist ne Gerade durch 0 mit Steigung m.
die meisten Geraden durch 0 schneiden die Kurve, es gibt nur einige, die an bestimmten Punkten gerade Tangenten sind, naemlich wenn die Gerade y=mx grad durch den Punkt x1,f(x1) geht der genau die Steigung m hat.
Also hat die Tangente die Form y=f'(x1)*x, aber nur, wenn du den richtigen pkt x1 hast.
der ist hier rechnerisch fast nicht zu finden!
Und zum letzten mal: dieses [mm] \pi/180 [/mm] ist sicher nicht sinnvoll, auch wenn das dein TI sagt!
stell man den Rechner auf rad statt deg!
Gruss leduart
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Hallo,
ok danke, das habe ich leider ganz vergessen auf RAD umzustellen. Also, angenommen wir hätten gegeben:
f(x)=(x/t)-1+cos(x/t) (=>also -1 nicht hochgestellt)
Dann gebe die Steigung f(x)' = [mm] (\bruch{1}{t}-\bruch{sin(\bruch{x}{t})}{t})
[/mm]
Demnach y=f(x)'*x => eigentlich Tangentengleichung
Und nun verstehe ich nicht, warum mir mein TI aber keine Gerade anzeigt, z.B. für t=1, sondern auch eine Kurve, die f auch schneidet.
Als Berührpunkte zeigt er mir etwa 10 Stück an für t=1, die aber alle gar keine Berührpunkte sind, sondern Schnittpunkte. Aber warum ist das so schwer diesen Berührpunkt herauszufinden oder zu berechnen und warum geht das rechnerisch nicht?
Viele Grüße,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:57 So 28.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du gehst auf mein Meckern mit x1 und x gar nicht ein;
> Hallo,
>
> ok danke, das habe ich leider ganz vergessen auf RAD
> umzustellen. Also, angenommen wir hätten gegeben:
>
> f(x)=(x/t)-1+cos(x/t) (=>also -1 nicht hochgestellt)
>
> Dann gebe die Steigung f(x)' =
> [mm](\bruch{1}{t}-\bruch{sin(\bruch{x}{t})}{t})[/mm]
richtig
>
> Demnach y=f(x)'*x => eigentlich Tangentengleichung
Nein, Nein, NeinDas ist eine Funktion, die wenig sinn macht, denn f'(x) gibt doch die Steigungsfunktion, d,h, die steigung in jedem Punkt an!
Eine Gerade durch den )Punkt ist aber nur Tangente an einem Punkt x1!
Den musst du noch suchen!
Das ist alles Unsinn!! Die funktion, die du jetzt hast geht durch den 0Punkt, also ist doch die Tangente IM opunkt gemeint, also y=f'(0)*x d.h.
t(x)=1/t*x
und jetzt f(u)-t(u)=l(u) und l(u) soll maximal werden!
Wenn du gleich die richtige Funktion geschrieben haettest waer alles viel leichter gewesen und wir haetten uns ne Menge Arbit gespart!!
Gruss leduart
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Hallo!
Danke nochmals! Ich habe jetzt für x = u = @n3*/pi*t rausgekriegt, was doch eigentlich dasselbe ist wie x=/pi schätze ich mal, da die Kurve sich periodisch wiederholt (oder weiß jemand zufällig genau wofür dieses @n3 sonst steht?).
Die länge der Strecke beträgt dann [mm] l(/pi)=cos(\bruch{/pi}{t})-1.
[/mm]
Vielen Dank nochmal für deine Hilfe!
Liebe Grüße,
Anna
Liebe Grüße,
Anna
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 So 28.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Anna
> Hallo!
>
> Danke nochmals! Ich habe jetzt für x = u = @n3*/pi*t
was "@n3" sein soll weiss ich nicht.
Die Kurve ist nicht wirklich periodisch, weil ja x/t nicht per. ist.
Aber du solltest sie nur fuer [mm] x\le \pi*t [/mm] ansehen.!
> rausgekriegt, was doch eigentlich dasselbe ist wie x=/pi
> schätze ich mal, da die Kurve sich periodisch wiederholt
> (oder weiß jemand zufällig genau wofür dieses @n3 sonst
> steht?).
woher hast du das @n3 denn?
> Die länge der Strecke beträgt dann
> [mm]l(/pi)=cos(\bruch{/pi}{t})-1.[/mm]
u falsch eingesetzt!
Gruss leduart
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Hallo AnnaKuban88,
Fangen wir noch einmal von vorne an!
> Gegeben ist
> [mm]f(x)=\bruch{x}{t}-1+\cos(\bruch{x}{t}) ;\ x\in[-t\pi; t\pi][/mm]
veränderter Term!
>
> K ist das Schaubild von f.
> Die Tangente an K im Ursprung ist g.
> Die Gerade mit der Gleichung x=u [mm](0
> Tangente g im Punkt P und die Kurve K im Punkt Q. Berechnen
> Sie u so, dass die Länge der Strecke d(P;Q) ein absolutes
> Maximum annimmt und geben Sie dieses Maximum an.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt gibt es natürlich eine Tangente im Ursprung!
Ich habe sie für t=1 eingezeichnet, sie schneidet (berührt) den Funktionsgraphen mehrfach...
Außerdem habe ich x=2 als senkrechte Gerade eingezeichnet.
Jetzt kann man auch die Punkte P und Q erkennen, deren Abstand maximiert werden soll.
Auf geht's: jetzt bist du dran, das alles auch für beliebige t nachzurechnen!
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
danke, dass du extra die Graphik erstellt hast
Also, ich habe das nun berechnet, habe jedoch keinen Wert für t eingesetzt.
Mein Taschenrechner gab mir für die Nullstellen der 1.Ableitung folgendes:
u = $ [mm] @n3\cdot{}\pi [/mm] $ * t
Wobei hier eben das Problem liegt, ich versteh die Systematik nicht hinter dem @n3 (was ja sowas wie eine periodische Wiederholung bedeuten soll).
Ich habe dieses Ergebnis nun so interpretiert, dass das absolute max (im Rahmen des festegelgten Intervalls) bei [mm] \pi [/mm] liegt.
Aber kann mir hier jemand sagen, was genau diese Hyroglyphen zu bedeuten haben?
Für die längste Strecke kriege ich dann übrigens raus:
[mm] l(\pi)=|cos (\bruch{\pi}{t}-1)|.
[/mm]
Viele Grüße,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Di 30.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Laenge ist ja:l(x)= x/t-x/t+1-cos(x/t)=1-cos(x/t) also ne periodische Funktion. deshalb hat sie auch periodische maxima, bei [mm] x/t=\pi+n*2\pi
[/mm]
da du ja nur fuer [mm] x/t\le2\pi [/mm] suchen sollst also bei [mm] x/t=\pi, [/mm] x=/pi*t.
wenn du das aber in deine Laengenfunktion einsetzt hast du l(x)=1 und nicht deinen Wert! du hast [mm] x=\pi [/mm] eingesetzt, statt [mm] x\t=\pi!
[/mm]
Dass du alles deinem TR ueberlaesst find ich schade, l'(x)=1/t*sin(x/t) und dass der sin 0 ist, wenn das Argument [mm] n*\pi [/mm] ist sollte man ohne TR wissen! jede 2. Nullstelle, also [mm] z.bsp.x=2\pi [/mm] ist ein Minimum!
Gruss leduart
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