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maximale Untergruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 Mi 11.11.2009
Autor: johnny11

Aufgabe
Eine Untergruppe H [mm] \subseteq [/mm] G, [mm] H\not= [/mm] G heisst maximal, wenn für jede Untergruppe L mit H [mm] \subseteq [/mm] L [mm] \subseteq [/mm] G entweder L = G oder L = H gilt.
Zeige, dass das Zentrum einer endlichen Gruppe nicht maximal ist.

Ich habe leider gerade überhaupt keine Ahnung, wie ich hier vorgehen kann. Die Definition des Zentrums ist mir klar.

Z(G) = {x [mm] \in [/mm] G : xy = yx [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] G}.

Sei nun also Z(G) [mm] \subseteq [/mm] G.

Sollte ich nun ein L finden mit H [mm] \subseteq [/mm] L [mm] \subseteq [/mm] G, wobei nicht gilt, dass L=G oder L=H? Oder muss ich besser anders vorgehen?

        
Bezug
maximale Untergruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 Mi 11.11.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Eine Untergruppe H [mm]\subseteq[/mm] G, [mm]H\not=[/mm] G heisst maximal,
> wenn für jede Untergruppe L mit H [mm]\subseteq[/mm] L [mm]\subseteq[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

G

> entweder L = G oder L = H gilt.
>  Zeige, dass das Zentrum einer endlichen Gruppe nicht
> maximal ist.
>  
> Ich habe leider gerade überhaupt keine Ahnung, wie ich
> hier vorgehen kann. Die Definition des Zentrums ist mir
> klar.
>  
> Z(G) = {x [mm]\in[/mm] G : xy = yx [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

G}.

>  
> Sei nun also Z(G) [mm]\subseteq[/mm] G.

Es ist sogar ein Normalteiler.

Gehe wie folgt vor: ueberlege dir, dass fuer einen Normalteiler $N$ in $G$ gilt:

$N$ ist maximale Untergruppe [mm] $\Leftrightarrow$ $\{ e \}$ [/mm] ist maximale Untergruppe in $G/N$ [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] $|G/N| = p$ fuer eine Primzahl $p$

Jetzt ueberleg dir mal, $G/Z(G)$ waere von der Ordnung $p$ (Primzah). Kannst du zeigen, dass dies einen Widerspruch ergibt, sprich dass dann bereits $Z(G) = G$ sein muesste?

LG Felix


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